Để chứng minh các đẳng thức liên quan đến tam giác nhọn \(ABC\) và các đường cao \(AD\), \(BE\), \(CF\), chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học phẳng và lượng giác.

### Chứng minh \(AD \cdot BE \cdot CF = AB \cdot BC \cdot CA \cdot \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C\)

1. **Sử dụng diện tích tam giác:**

Diện tích của tam giác \(ABC\) có thể được tính bằng nhiều cách khác nhau. Một cách là sử dụng các đường cao:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot BE \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CF \cdot \sin C
\]

Từ đó, ta có:

\[
AD = \frac{2S}{BC \cdot \sin A}, \quad BE = \frac{2S}{CA \cdot \sin B}, \quad CF = \frac{2S}{AB \cdot \sin C}
\]

2. **Tính tích các đường cao:**

\[
AD \cdot BE \cdot CF = \left( \frac{2S}{BC \cdot \sin A} \right) \cdot \left( \frac{2S}{CA \cdot \sin B} \right) \cdot \left( \frac{2S}{AB \cdot \sin C} \right)
\]

\[
= \frac{8S^3}{(BC \cdot CA \cdot AB) \cdot (\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C)}
\]

3. **Sử dụng công thức diện tích:**

Diện tích tam giác \(ABC\) cũng có thể được biểu diễn bằng công thức Heron hoặc bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\):

\[
S = \frac{abc}{4R}
\]

Do đó:

\[
S^3 = \left( \frac{abc}{4R} \right)^3 = \frac{a^3 b^3 c^3}{64R^3}
\]

4. **Kết hợp các kết quả:**

Thay \(S^3\) vào biểu thức của \(AD \cdot BE \cdot CF\):

\[
AD \cdot BE \cdot CF = \frac{8 \cdot \frac{a^3 b^3 c^3}{64R^3}}{(BC \cdot CA \cdot AB) \cdot (\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C)}
\]

\[
= \frac{a^3 b^3 c^3}{8R^3 \cdot (BC \cdot CA \cdot AB) \cdot (\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C)}
\]

Nhận thấy rằng \(BC = a\), \(CA = b\), \(AB = c\), ta có:

\[
AD \cdot BE \cdot CF = \frac{a^3 b^3 c^3}{8R^3 \cdot abc \cdot (\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C)}
\]

\[
= \frac{a^2 b^2 c^2}{8R^3 \cdot (\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C)}
\]

Cuối cùng, sử dụng công thức \(R = \frac{abc}{4S}\):

\[
AD \cdot BE \cdot CF = \frac{a^2 b^2 c^2}{8 \cdot \left( \frac{abc}{4S} \right)^3 \cdot (\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C)}
\]

\[
= \frac{a^2 b^2 c^2 \cdot (4S)^3}{8 \cdot (abc)^3 \cdot (\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C)}
\]

\[
= \frac{64S^3}{8 \cdot abc \cdot (\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C)}
\]

\[
= \frac{8S^3}{abc \cdot (\sin A \cdot \sin B \cdot \sin C)}
\]

\[
= AB \cdot BC \cdot CA \cdot \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:

\[
AD \cdot BE \cdot CF = AB \cdot BC \cdot CA \cdot \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C
\]