Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \frac{1}{x} + \frac{2}{1-x} \), ta cần phân tích và tìm giá trị của \( x \) sao cho \( P \) đạt giá trị nhỏ nhất.

Trước tiên, ta xác định miền giá trị của \( x \). Biểu thức \( P \) xác định khi \( x \neq 0 \) và \( x \neq 1 \).

Bây giờ, ta sẽ tính đạo hàm của \( P \) để tìm các điểm cực trị. Đặt \( P = \frac{1}{x} + \frac{2}{1-x} \).

Tính đạo hàm của \( P \) theo \( x \):
\[ P' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} + \frac{2}{1-x}\right) \]

Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm phân số, ta có:
\[ P' = -\frac{1}{x^2} + \frac{2}{(1-x)^2} \]

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( P' = 0 \):
\[ -\frac{1}{x^2} + \frac{2}{(1-x)^2} = 0 \]

Chuyển vế và nhân chéo, ta có:
\[ \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{x^2} \]
\[ 2x^2 = (1-x)^2 \]
\[ 2x^2 = 1 - 2x + x^2 \]
\[ 2x^2 - x^2 + 2x - 1 = 0 \]
\[ x^2 + 2x - 1 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này, ta có:
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = -1 \pm \sqrt{2} \]

Vậy ta có hai nghiệm:
\[ x = -1 + \sqrt{2} \]
\[ x = -1 - \sqrt{2} \]

Trong hai nghiệm này, nghiệm \( x = -1 - \sqrt{2} \) không thuộc miền giá trị của \( x \) vì \( x \) phải khác 0 và 1, và \( -1 - \sqrt{2} \) là một số âm.

Do đó, nghiệm hợp lệ là:
\[ x = -1 + \sqrt{2} \]

Bây giờ, ta tính giá trị của \( P \) tại \( x = -1 + \sqrt{2} \):
\[ P = \frac{1}{-1 + \sqrt{2}} + \frac{2}{1 - (-1 + \sqrt{2})} \]
\[ P = \frac{1}{-1 + \sqrt{2}} + \frac{2}{2 - \sqrt{2}} \]

Rationalizing the denominators:
\[ \frac{1}{-1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{-1 - \sqrt{2}}{-1 - \sqrt{2}} = \frac{-1 - \sqrt{2}}{(-1 + \sqrt{2})(-1 - \sqrt{2})} = \frac{-1 - \sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{-1 - \sqrt{2}}{-1} = 1 + \sqrt{2} \]

\[ \frac{2}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2} \]

Vậy:
\[ P = 1 + \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2} \]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( 3 + 2\sqrt{2} \).