Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính cạnh của hình vuông**:
- Diện tích của hình vuông là 169 cm².
- Gọi cạnh của hình vuông là \( a \).
- Ta có: \( a^2 = 169 \).
- Suy ra: \( a = \sqrt{169} = 13 \) cm.

2. **Tính chu vi của hình vuông**:
- Chu vi của hình vuông là: \( 4a = 4 \times 13 = 52 \) cm.

3. **Tính chu vi của hình chữ nhật**:
- Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \( L \) và chiều rộng là \( W \).
- Theo đề bài, chu vi của hình chữ nhật bằng chu vi của hình vuông, tức là 52 cm.
- Chu vi của hình chữ nhật là: \( 2(L + W) = 52 \).
- Suy ra: \( L + W = 26 \).

4. **Biểu diễn chiều rộng theo chiều dài**:
- Theo đề bài, chiều rộng bằng 1/3 chiều dài, tức là: \( W = \frac{1}{3}L \).

5. **Giải hệ phương trình**:
- Thay \( W = \frac{1}{3}L \) vào phương trình \( L + W = 26 \):
\[
L + \frac{1}{3}L = 26
\]
- Gộp lại:
\[
\frac{4}{3}L = 26
\]
- Giải phương trình để tìm \( L \):
\[
L = 26 \times \frac{3}{4} = 19.5 \text{ cm}
\]

6. **Tính chiều rộng**:
- \( W = \frac{1}{3}L = \frac{1}{3} \times 19.5 = 6.5 \text{ cm} \).

7. **Tính diện tích của hình chữ nhật**:
- Diện tích của hình chữ nhật là: \( L \times W = 19.5 \times 6.5 \).
- Tính toán:
\[
19.5 \times 6.5 = 126.75 \text{ cm}^2
\]

Vậy, diện tích của hình chữ nhật là \( 126.75 \) cm².