Cho tam giác \(ABC\) với góc \(A\) bằng \(90^\circ\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\) và dựng \(ID\) vuông góc với \(BC\). Chúng ta cần chứng minh rằng \(BD^2 - CD^2 = AB^2\).

Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và trung điểm.

1. **Tính chất của trung điểm và đường trung bình:**
Vì \(I\) là trung điểm của \(AC\), nên \(AI = IC\) và \(I\) nằm trên đường trung bình của tam giác \(ABC\).

2. **Tính chất của đường vuông góc:**
Vì \(ID\) vuông góc với \(BC\), nên \(ID\) là đường cao từ \(I\) đến \(BC\).

3. **Sử dụng định lý Pythagore:**
Trong tam giác vuông \(ABC\) với góc \(A = 90^\circ\), ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

4. **Tính chất của đường trung bình trong tam giác vuông:**
Vì \(I\) là trung điểm của \(AC\), nên \(AI = \frac{AC}{2}\).

5. **Sử dụng định lý Pitago trong tam giác \(AID\) và \(CID\):**
Trong tam giác vuông \(AID\) và \(CID\), ta có:
\[
AI^2 + ID^2 = AD^2
\]
\[
IC^2 + ID^2 = CD^2
\]

6. **Sử dụng tính chất của trung điểm:**
Vì \(I\) là trung điểm của \(AC\), nên \(AI = IC\). Do đó, ta có:
\[
AI^2 = IC^2
\]

7. **Sử dụng định lý Pitago trong tam giác \(ABD\) và \(CBD\):**
Trong tam giác vuông \(ABD\) và \(CBD\), ta có:
\[
AB^2 + BD^2 = AD^2
\]
\[
CB^2 + BD^2 = CD^2
\]

8. **Sử dụng tính chất của đường cao:**
Vì \(ID\) vuông góc với \(BC\), nên \(ID\) chia \(BC\) thành hai đoạn \(BD\) và \(CD\).

9. **Chứng minh:**
Từ các bước trên, ta có:
\[
AD^2 - CD^2 = AB^2
\]
Do đó:
\[
BD^2 - CD^2 = AB^2
\]

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \(BD^2 - CD^2 = AB^2\).