Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu của đề bài:

**a. Tính BC và AD**

Vì ∆ABC vuông tại A, ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tính BC:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
\[ BC^2 = 15^2 + 20^2 \]
\[ BC^2 = 225 + 400 \]
\[ BC^2 = 625 \]
\[ BC = \sqrt{625} = 25 \text{ cm} \]

Tiếp theo, ta tính độ dài đường cao AD từ A đến BC. Trong tam giác vuông, đường cao AD chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn, và ta có thể sử dụng công thức:
\[ AD = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]
\[ AD = \frac{15 \cdot 20}{25} \]
\[ AD = \frac{300}{25} \]
\[ AD = 12 \text{ cm} \]

**b. Chứng minh: ∆AHB đồng dạng ∆CAB**

Ta có ∆ABC vuông tại A, nên:
\[ \angle BAC = 90^\circ \]

Trong tam giác vuông ∆AHB, ta có:
\[ \angle AHB = 90^\circ \]

Do đó, ta có:
\[ \angle BAC = \angle AHB = 90^\circ \]

Ngoài ra, ∆AHB và ∆CAB có chung góc A. Vậy:
\[ \angle BAH = \angle BAC \]

Do đó, theo trường hợp góc-góc (AA), ta có:
\[ \Delta AHB \sim \Delta CAB \]

**c. Chứng minh: BH.BD = BK.BA**

Ta có BD là đường phân giác của góc B trong tam giác vuông ∆ABC, cắt đường cao AH tại K. Theo tính chất của đường phân giác trong tam giác vuông, ta có:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{BK}{KC} \]

Từ đó, ta có:
\[ BK = \frac{AB \cdot KC}{AC} \]

Do ∆AHB đồng dạng với ∆CAB, ta có:
\[ \frac{AH}{AB} = \frac{AB}{BC} \]
\[ AH = \frac{AB^2}{BC} \]
\[ AH = \frac{15^2}{25} \]
\[ AH = \frac{225}{25} \]
\[ AH = 9 \text{ cm} \]

Ta cũng có:
\[ BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} \]
\[ BH = \sqrt{15^2 - 9^2} \]
\[ BH = \sqrt{225 - 81} \]
\[ BH = \sqrt{144} \]
\[ BH = 12 \text{ cm} \]

Bây giờ, ta xét tam giác vuông ∆BHD và tam giác vuông ∆BKA, ta có:
\[ \angle BHD = \angle BKA = 90^\circ \]

Do đó, theo định lý đường phân giác trong tam giác vuông, ta có:
\[ BH \cdot BD = BK \cdot BA \]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[ BH \cdot BD = BK \cdot BA \]