Để chứng minh \(7^{103} - 7\) chia hết cho 48 và \(E\) chia hết cho 19, chúng ta sẽ giải quyết từng phần một.

### Phần 1: Chứng minh \(7^{103} - 7\) chia hết cho 48

Trước hết, chúng ta sẽ sử dụng định lý Euler để giải quyết bài toán này. Định lý Euler nói rằng nếu \(a\) và \(n\) là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, thì:

\[ a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n} \]

Trong đó, \(\phi(n)\) là hàm phi Euler của \(n\).

Ở đây, chúng ta cần chứng minh \(7^{103} - 7\) chia hết cho 48. Trước hết, ta tính \(\phi(48)\):

\[ 48 = 2^4 \times 3 \]
\[ \phi(48) = 48 \left(1 - \frac{1}{2}\right) \left(1 - \frac{1}{3}\right) = 48 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = 16 \]

Theo định lý Euler, vì 7 và 48 là nguyên tố cùng nhau, ta có:

\[ 7^{16} \equiv 1 \pmod{48} \]

Bây giờ, ta viết \(103\) dưới dạng \(103 = 16 \times 6 + 7\):

\[ 7^{103} = 7^{16 \times 6 + 7} = (7^{16})^6 \times 7^7 \]

Do \(7^{16} \equiv 1 \pmod{48}\), ta có:

\[ (7^{16})^6 \equiv 1^6 \equiv 1 \pmod{48} \]

Do đó:

\[ 7^{103} \equiv 7^7 \pmod{48} \]

Bây giờ, ta tính \(7^7 \mod 48\):

\[ 7^2 = 49 \equiv 1 \pmod{48} \]
\[ 7^4 = (7^2)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{48} \]
\[ 7^6 = (7^2)^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod{48} \]
\[ 7^7 = 7^6 \times 7 \equiv 1 \times 7 \equiv 7 \pmod{48} \]

Do đó:

\[ 7^{103} \equiv 7 \pmod{48} \]

Vậy:

\[ 7^{103} - 7 \equiv 7 - 7 \equiv 0 \pmod{48} \]

Điều này chứng minh rằng \(7^{103} - 7\) chia hết cho 48.

### Phần 2: Chứng minh \(E\) chia hết cho 19

Ta có \(E = 7 + 7^3 + 7^5 + \ldots + 7^{101}\). Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu là \(7\) và công bội là \(7^2 = 49\).

Số hạng tổng quát của cấp số nhân này là \(7^{2k+1}\) với \(k\) chạy từ 0 đến 50. Tổng số hạng của cấp số nhân này là 51.

Tổng của cấp số nhân được tính theo công thức:

\[ E = 7 \left( \frac{(49)^{51} - 1}{49 - 1} \right) \]

Ta cần chứng minh \(E\) chia hết cho 19. Trước hết, ta tính \(49 \mod 19\):

\[ 49 \equiv 11 \pmod{19} \]

Do đó:

\[ 49^{51} \equiv 11^{51} \pmod{19} \]

Theo định lý Fermat nhỏ, vì 19 là số nguyên tố, ta có:

\[ 11^{18} \equiv 1 \pmod{19} \]

Do đó:

\[ 11^{51} = 11^{18 \times 2 + 15} = (11^{18})^2 \times 11^{15} \equiv 1^2 \times 11^{15} \equiv 11^{15} \pmod{19} \]

Tiếp tục áp dụng định lý Fermat nhỏ:

\[ 11^{18} \equiv 1 \pmod{19} \]
\[ 11^{15} = 11^{18 - 3} \equiv 11^{-3} \pmod{19} \]

Ta cần tính \(11^{-3} \mod 19\). Trước hết, ta tìm nghịch đảo của 11 modulo 19. Ta có:

\[ 11x \equiv 1 \pmod{19} \]

Dùng thuật toán Euclid mở rộng, ta tìm được:

\[ x = 7 \]

Do đó:

\[ 11^{-1} \equiv 7 \pmod{19} \]

Vậy:

\[ 11^{-3} \equiv 7^3 \pmod{19} \]
\[ 7^3 = 343 \equiv 1 \pmod{19} \]

Do đó:

\[ 11^{51} \equiv 1 \pmod{19} \]

Vậy:

\[ 49^{51} \equiv 1 \pmod{19} \]

Do đó:

\[ \frac{(49)^{51} - 1}{49 - 1} \equiv \frac{1 - 1}{48} \equiv 0 \pmod{19} \]

Vậy:

\[ E = 7 \left( \frac{(49)^{51} - 1}{48} \right) \equiv 7 \times 0 \equiv 0 \pmod{19} \]

Điều này chứng minh rằng \(E\) chia hết cho 19.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.