Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) (với \(AB < AC\)). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(MD = MA\).

a. Chứng minh \(ABCD\) là hình chữ nhật:

- Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(M\) là trung điểm của đường chéo \(BD\) trong tứ giác \(ABCD\).
- \(MD = MA\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(M\).
- Do đó, \(AD\) và \(BC\) là hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của chúng.
- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), nên \(AB \perp AC\).
- Vì \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(M\), nên \(AD \parallel BC\) và \(AB \parallel DC\).

Vậy, \(ABCD\) là hình chữ nhật.

b. Lấy điểm \(E\) sao cho \(B\) là trung điểm của \(AE\). Chứng minh \(BEDC\) là hình bình hành:

- Vì \(B\) là trung điểm của \(AE\), nên \(A\) đối xứng với \(E\) qua \(B\).
- Từ phần a, \(ABCD\) là hình chữ nhật, nên \(AB \parallel DC\) và \(AB = DC\).
- Do \(A\) đối xứng với \(E\) qua \(B\), nên \(E\) đối xứng với \(A\) qua \(B\), suy ra \(AE \parallel BC\) và \(AE = BC\).

Vậy, \(BEDC\) là hình bình hành.

c. \(EM\) cắt \(BD\) tại \(K\). Chứng minh \(EK = 2KM\):

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(M\) là trung điểm của đường chéo \(BD\) trong hình chữ nhật \(ABCD\).
- \(B\) là trung điểm của \(AE\), nên \(E\) đối xứng với \(A\) qua \(B\).
- Trong tam giác \(ABE\), \(B\) là trung điểm của \(AE\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(EM\) là đường trung bình của tam giác \(ABE\).
- Do đó, \(EM \parallel AB\) và \(EM = \frac{1}{2}AB\).

Xét tam giác \(BDE\), \(M\) là trung điểm của \(BD\) và \(EM\) là đường trung bình của tam giác \(BDE\), nên \(K\) là điểm chia \(EM\) theo tỉ lệ \(EK = 2KM\).

Vậy, \(EK = 2KM\).