Chúng ta có biểu thức \( B = \frac{x - 2}{\sqrt{x} + 2} + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{4}{x - 2\sqrt{x}} \).

### 1. Rút gọn biểu thức

Đầu tiên, chúng ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức.

#### Phần 1: \(\frac{x - 2}{\sqrt{x} + 2}\)

Ta nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{x} - 2\):

\[
\frac{x - 2}{\sqrt{x} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2} = \frac{(x - 2)(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)}
\]

Mẫu số là hiệu của hai bình phương:

\[
(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2) = x - 4
\]

Tử số:

\[
(x - 2)(\sqrt{x} - 2) = x\sqrt{x} - 2x - 2\sqrt{x} + 4
\]

Vậy:

\[
\frac{x\sqrt{x} - 2x - 2\sqrt{x} + 4}{x - 4}
\]

#### Phần 2: \(\frac{2}{\sqrt{x}}\)

Phần này không cần rút gọn thêm.

#### Phần 3: \(\frac{4}{x - 2\sqrt{x}}\)

Ta nhân cả tử và mẫu với \(x + 2\sqrt{x}\):

\[
\frac{4}{x - 2\sqrt{x}} \cdot \frac{x + 2\sqrt{x}}{x + 2\sqrt{x}} = \frac{4(x + 2\sqrt{x})}{(x - 2\sqrt{x})(x + 2\sqrt{x})}
\]

Mẫu số là hiệu của hai bình phương:

\[
(x - 2\sqrt{x})(x + 2\sqrt{x}) = x^2 - (2\sqrt{x})^2 = x^2 - 4x
\]

Tử số:

\[
4(x + 2\sqrt{x}) = 4x + 8\sqrt{x}
\]

Vậy:

\[
\frac{4x + 8\sqrt{x}}{x^2 - 4x}
\]

### 2. Tính \( B \) khi \( x = 4 + 2\sqrt{3} \)

Thay \( x = 4 + 2\sqrt{3} \) vào biểu thức đã rút gọn:

#### Phần 1:

\[
\frac{(4 + 2\sqrt{3}) - 2}{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + 2} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + 2}
\]

#### Phần 2:

\[
\frac{2}{\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}
\]

#### Phần 3:

\[
\frac{4}{(4 + 2\sqrt{3}) - 2\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}
\]

Tuy nhiên, để tính chính xác hơn, chúng ta cần biết giá trị của \(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}\).

Giả sử \(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = a + b\sqrt{3}\), ta có:

\[
4 + 2\sqrt{3} = (a + b\sqrt{3})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{3} + 3b^2
\]

So sánh hai vế:

\[
a^2 + 3b^2 = 4 \quad \text{và} \quad 2ab = 2
\]

Giải hệ phương trình này:

\[
ab = 1 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{1}{a}
\]

Thay vào phương trình đầu:

\[
a^2 + 3\left(\frac{1}{a}\right)^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad a^4 - 4a^2 + 3 = 0
\]

Giải phương trình bậc 4 này:

\[
(a^2 - 3)(a^2 - 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 3 \quad \text{hoặc} \quad a^2 = 1
\]

Vậy \( a = 1 \) hoặc \( a = -1 \) và \( b = 1 \) hoặc \( b = -1 \).

Do đó:

\[
\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = 1 + \sqrt{3}
\]

Thay vào các phần của biểu thức \( B \):

#### Phần 1:

\[
\frac{2 + 2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3} + 2} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}
\]

#### Phần 2:

\[
\frac{2}{1 + \sqrt{3}}
\]

#### Phần 3:

\[
\frac{4}{4 + 2\sqrt{3} - 2(1 + \sqrt{3})} = \frac{4}{4 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}} = \frac{4}{2} = 2
\]

Tổng hợp lại:

\[
B = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} + \frac{2}{1 + \sqrt{3}} + 2
\]

Rút gọn các phân số và tính tổng cuối cùng để có giá trị của \( B \).