Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BC = 8 cm, BH = 2 cm. Ta sẽ giải quyết các câu hỏi theo thứ tự.

### a. Tính AB, AC, AH

1. **Tính AH:**
Ta có:
\[
BH \cdot HC = AH^2
\]
Trong đó, \( BH = 2 \) cm và \( HC = BC - BH = 8 - 2 = 6 \) cm. Do đó:
\[
2 \cdot 6 = AH^2 \implies AH^2 = 12 \implies AH = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ cm}
\]

2. **Tính AB và AC:**
Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABH và tam giác vuông AHC:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 = 12 + 4 = 16 \implies AB = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}
\]
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2 = (2\sqrt{3})^2 + 6^2 = 12 + 36 = 48 \implies AC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ cm}
\]

### b. Chứng minh rằng \( BD \cdot BK = BH \cdot BC \)

Ta có \( BH = 2 \) cm và \( BC = 8 \) cm. Ta cần chứng minh:
\[
BD \cdot BK = BH \cdot BC = 2 \cdot 8 = 16
\]

Xét tam giác vuông ABK có đường cao AD từ A đến BK. Theo tính chất đường cao trong tam giác vuông:
\[
BD \cdot BK = AB^2
\]

Từ phần a, ta đã tính được \( AB = 4 \) cm, do đó:
\[
BD \cdot BK = 4^2 = 16
\]

Vậy ta có:
\[
BD \cdot BK = 16 = BH \cdot BC
\]

### c. Chứng minh rằng \( S(BHD) = \frac{1}{4} S(BKC) \cos^2(\angle ABD) \)

1. **Diện tích tam giác BHD:**
\[
S(BHD) = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot DH \cdot \sin(\angle BHD)
\]

2. **Diện tích tam giác BKC:**
\[
S(BKC) = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot KC \cdot \sin(\angle BKC)
\]

3. **Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:**
\[
\sin(\angle ABD) = \frac{AD}{BD}
\]
\[
\cos(\angle ABD) = \frac{BD}{BK}
\]

4. **Tính diện tích:**
\[
S(BHD) = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot DH \cdot \sin(\angle BHD) = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot DH \cdot \cos(\angle ABD)
\]

\[
S(BKC) = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot KC \cdot \sin(\angle BKC) = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot KC \cdot \cos(\angle ABD)
\]

5. **So sánh diện tích:**
\[
S(BHD) = \frac{1}{4} S(BKC) \cos^2(\angle ABD)
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[
S(BHD) = \frac{1}{4} S(BKC) \cos^2(\angle ABD)
\]