Để giải phương trình \(4x^4 + 3x^2 - 1 = 0\), ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Đặt \(y = x^2\), khi đó phương trình trở thành:

\[4y^2 + 3y - 1 = 0\]

Đây là một phương trình bậc hai theo biến \(y\). Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Trong đó, \(a = 4\), \(b = 3\), và \(c = -1\). Thay các giá trị này vào công thức, ta có:

\[y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4}\]
\[y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{8}\]
\[y = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{8}\]
\[y = \frac{-3 \pm 5}{8}\]

Ta có hai nghiệm:

1. \(y = \frac{-3 + 5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)
2. \(y = \frac{-3 - 5}{8} = \frac{-8}{8} = -1\)

Bây giờ, ta quay lại biến \(x\):

1. Với \(y = \frac{1}{4}\), ta có \(x^2 = \frac{1}{4}\), do đó \(x = \pm \frac{1}{2}\).
2. Với \(y = -1\), ta có \(x^2 = -1\). Vì \(x^2\) không thể bằng một số âm trong tập số thực, nên không có nghiệm thực cho trường hợp này.

Vậy, nghiệm của phương trình \(4x^4 + 3x^2 - 1 = 0\) là:

\[x = \frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{1}{2}\]