Để tìm diện tích thiết diện của mặt phẳng (P) qua B và vuông góc với AD trong tứ diện đều ABCD cạnh a = 12, ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định tọa độ các đỉnh của tứ diện đều ABCD:**
- Giả sử A tại gốc tọa độ \( (0, 0, 0) \).
- B tại \( (a, 0, 0) \) tức là \( (12, 0, 0) \).
- C tại \( \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right) \) tức là \( \left(6, 6\sqrt{3}, 0\right) \).
- D tại \( \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right) \) tức là \( \left(6, 2\sqrt{3}, 4\sqrt{6}\right) \).

2. **Xác định phương trình mặt phẳng (P):**
- Mặt phẳng (P) qua điểm B \( (12, 0, 0) \) và vuông góc với đường thẳng AD.
- Vector chỉ phương của AD là \( \overrightarrow{AD} = \left(6, 2\sqrt{3}, 4\sqrt{6}\right) \).
- Phương trình mặt phẳng (P) có dạng \( 6(x - 12) + 2\sqrt{3}y + 4\sqrt{6}z = 0 \).

3. **Tìm giao điểm của mặt phẳng (P) với các cạnh của tứ diện:**
- Giao điểm của mặt phẳng (P) với cạnh AC:
- Điểm C có tọa độ \( \left(6, 6\sqrt{3}, 0\right) \).
- Tham số hóa AC: \( \left(6t, 6\sqrt{3}t, 0\right) \) với \( 0 \leq t \leq 1 \).
- Thay vào phương trình mặt phẳng (P): \( 6(6t - 12) + 2\sqrt{3}(6\sqrt{3}t) = 0 \).
- Giải phương trình: \( 36t - 72 + 36t = 0 \) => \( 72t = 72 \) => \( t = 1 \).
- Giao điểm là C \( \left(6, 6\sqrt{3}, 0\right) \).

- Giao điểm của mặt phẳng (P) với cạnh BD:
- Điểm D có tọa độ \( \left(6, 2\sqrt{3}, 4\sqrt{6}\right) \).
- Tham số hóa BD: \( \left(12 - 6t, 2\sqrt{3}t, 4\sqrt{6}t\right) \) với \( 0 \leq t \leq 1 \).
- Thay vào phương trình mặt phẳng (P): \( 6(12 - 6t - 12) + 2\sqrt{3}(2\sqrt{3}t) + 4\sqrt{6}(4\sqrt{6}t) = 0 \).
- Giải phương trình: \( -36t + 12t + 96t = 0 \) => \( 72t = 0 \) => \( t = 0 \).
- Giao điểm là B \( (12, 0, 0) \).

- Giao điểm của mặt phẳng (P) với cạnh CD:
- Tham số hóa CD: \( \left(6 + 6t, 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3}t, 4\sqrt{6}t\right) \) với \( 0 \leq t \leq 1 \).
- Thay vào phương trình mặt phẳng (P): \( 6(6 + 6t - 12) + 2\sqrt{3}(6\sqrt{3} - 4\sqrt{3}t) + 4\sqrt{6}(4\sqrt{6}t) = 0 \).
- Giải phương trình: \( 36t - 36 + 36 - 24t + 96t = 0 \) => \( 108t = 0 \) => \( t = 0 \).
- Giao điểm là C \( \left(6, 6\sqrt{3}, 0\right) \).

4. **Diện tích thiết diện:**
- Thiết diện là tam giác BCD.
- Sử dụng công thức diện tích tam giác với tọa độ:
- Diện tích tam giác \( \Delta = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \).
- Với B \( (12, 0, 0) \), C \( (6, 6\sqrt{3}, 0) \), D \( (6, 2\sqrt{3}, 4\sqrt{6}) \).
- Diện tích tam giác BCD:
\[
\Delta = \frac{1}{2} \left| 12(6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) + 6(2\sqrt{3} - 0) + 6(0 - 6\sqrt{3}) \right| = \frac{1}{2} \left| 12(4\sqrt{3}) + 12\sqrt{3} - 36\sqrt{3} \right| = \frac{1}{2} \left| 48\sqrt{3} + 12\sqrt{3} - 36\sqrt{3} \right| = \frac{1}{2} \left| 24\sqrt{3} \right| = 12\sqrt{3}.
\]

Vậy diện tích thiết diện của mặt phẳng (P) và tứ diện đều ABCD là \( 12\sqrt{3} \).