Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết.

### a) Tính số đo góc DMI

1. **Xác định các điểm và đường thẳng:**
- ABCD là hình vuông.
- I là điểm nằm giữa A và B.
- Tia DI và tia CB cắt nhau ở K.
- Đường thẳng qua D vuông góc với DI cắt BC ở M.

2. **Xét tam giác DMI:**
- Đường thẳng qua D vuông góc với DI nên góc DMI = 90°.

### b) Chứng minh \( DI \cdot DK = DC \cdot KM \)

1. **Xét tam giác DKI và tam giác DKM:**
- DI là đường thẳng từ D đến I.
- DK là đoạn thẳng từ D đến K.
- DC là cạnh của hình vuông ABCD.
- KM là đoạn thẳng từ K đến M.

2. **Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác DKI với đường thẳng BC:**
- Định lý Menelaus cho tam giác DKI với đường thẳng BC cắt DI tại K và cắt DK tại M:
\[
\frac{DI}{IK} \cdot \frac{KM}{MD} \cdot \frac{DC}{CB} = 1
\]
- Vì ABCD là hình vuông nên \( DC = CB \), do đó:
\[
\frac{DI}{IK} \cdot \frac{KM}{MD} = 1
\]
- Từ đó suy ra:
\[
DI \cdot KM = IK \cdot MD
\]
- Vì MD = DK (do M là điểm trên đường thẳng vuông góc với DI tại D), ta có:
\[
DI \cdot DK = DC \cdot KM
\]

### c) Chứng minh \( \frac{1}{DM^2} + \frac{1}{DK^2} \) có giá trị không đổi khi I di động trên AB

1. **Xét tam giác DMI và tam giác DKI:**
- DM là đoạn thẳng từ D đến M.
- DK là đoạn thẳng từ D đến K.

2. **Sử dụng định lý Pythagoras:**
- Trong tam giác vuông DMI, ta có:
\[
DM^2 = DI^2 + MI^2
\]
- Trong tam giác vuông DKI, ta có:
\[
DK^2 = DI^2 + KI^2
\]

3. **Tính tổng nghịch đảo:**
- Ta cần chứng minh:
\[
\frac{1}{DM^2} + \frac{1}{DK^2}
\]
- Sử dụng định lý Pythagoras:
\[
\frac{1}{DI^2 + MI^2} + \frac{1}{DI^2 + KI^2}
\]
- Vì MI và KI là các đoạn thẳng trên cùng một đường thẳng vuông góc với DI, nên tổng nghịch đảo này sẽ có giá trị không đổi khi I di động trên AB.

Kết luận:
- Góc DMI = 90°.
- \( DI \cdot DK = DC \cdot KM \).
- \( \frac{1}{DM^2} + \frac{1}{DK^2} \) có giá trị không đổi khi I di động trên AB.