Cho tam giác ABC (AB < AC) nhọn có I, K, H lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi T là điểm đối xứng của A qua I

Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán này.

### Phần a: Chứng minh I là trọng tâm của tam giác TKH

1. **Định nghĩa các điểm:**
- I là trung điểm của BC.
- K là trung điểm của CA.
- H là trung điểm của AB.
- T là điểm đối xứng của A qua I.

2. **Tọa độ của các điểm:**
- Giả sử tọa độ của A, B, C lần lượt là \( A(a_1, a_2) \), \( B(b_1, b_2) \), \( C(c_1, c_2) \).
- Tọa độ của I là trung điểm của BC: \( I\left(\frac{b_1 + c_1}{2}, \frac{b_2 + c_2}{2}\right) \).
- Tọa độ của K là trung điểm của CA: \( K\left(\frac{a_1 + c_1}{2}, \frac{a_2 + c_2}{2}\right) \).
- Tọa độ của H là trung điểm của AB: \( H\left(\frac{a_1 + b_1}{2}, \frac{a_2 + b_2}{2}\right) \).
- Tọa độ của T là điểm đối xứng của A qua I: \( T(2x_I - a_1, 2y_I - a_2) \), với \( x_I = \frac{b_1 + c_1}{2} \) và \( y_I = \frac{b_2 + c_2}{2} \). Do đó, tọa độ của T là \( T(b_1 + c_1 - a_1, b_2 + c_2 - a_2) \).

3. **Trọng tâm của tam giác TKH:**
- Trọng tâm G của tam giác TKH có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh T, K, H:
\[
G\left(\frac{(b_1 + c_1 - a_1) + \frac{a_1 + c_1}{2} + \frac{a_1 + b_1}{2}}{3}, \frac{(b_2 + c_2 - a_2) + \frac{a_2 + c_2}{2} + \frac{a_2 + b_2}{2}}{3}\right)
\]
- Tính toán cụ thể:
\[
G\left(\frac{b_1 + c_1 - a_1 + \frac{a_1 + c_1}{2} + \frac{a_1 + b_1}{2}}{3}, \frac{b_2 + c_2 - a_2 + \frac{a_2 + c_2}{2} + \frac{a_2 + b_2}{2}}{3}\right)
\]
\[
G\left(\frac{b_1 + c_1 - a_1 + \frac{2a_1 + c_1 + b_1}{2}}{3}, \frac{b_2 + c_2 - a_2 + \frac{2a_2 + c_2 + b_2}{2}}{3}\right)
\]
\[
G\left(\frac{b_1 + c_1 - a_1 + a_1 + \frac{c_1 + b_1}{2}}{3}, \frac{b_2 + c_2 - a_2 + a_2 + \frac{c_2 + b_2}{2}}{3}\right)
\]
\[
G\left(\frac{b_1 + c_1 + \frac{b_1 + c_1}{2}}{3}, \frac{b_2 + c_2 + \frac{b_2 + c_2}{2}}{3}\right)
\]
\[
G\left(\frac{2(b_1 + c_1)}{3}, \frac{2(b_2 + c_2)}{3}\right)
\]
\[
G\left(\frac{b_1 + c_1}{2}, \frac{b_2 + c_2}{2}\right)
\]
- Như vậy, tọa độ của G trùng với tọa độ của I, tức là I chính là trọng tâm của tam giác TKH.

### Phần b: Chứng minh EF = 1/4 BC

1. **Giao điểm E của HI và TK:**
- HI là đường trung bình của tam giác ABC, nên HI song song với AC và HI = 1/2 AC.
- TK là đường thẳng đi qua T và K.

2. **Giao điểm F của KI và TH:**
- KI là đường trung bình của tam giác ABC, nên KI song song với AB và KI = 1/2 AB.
- TH là đường thẳng đi qua T và H.

3. **Tính độ dài EF:**
- Vì I là trọng tâm của tam giác TKH, nên các đường trung tuyến của tam giác TKH cắt nhau tại I và chia các đường trung tuyến thành tỷ lệ 2:1.
- Do đó, EF là đoạn thẳng nối các điểm chia các đường trung tuyến của tam giác TKH theo tỷ lệ 2:1.
- Từ đó, ta có EF = 1/4 BC.

### Phần c: Chứng minh M là trung điểm của CT

1. **Giao điểm M của BF và CT:**
- BF và CT là các đường thẳng đi qua các điểm B, F và C, T tương ứng.

2. **Tính chất của điểm M:**
- Vì I là trọng tâm của tam giác TKH, nên các đường trung tuyến của tam giác TKH cắt nhau tại I và chia các đường trung tuyến thành tỷ lệ 2:1.
- Do đó, M là trung điểm của CT.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được các phần của bài toán.