Cho hai đoạn thẳng AB và DC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Chứng minh rằng:

Để chứng minh các yêu cầu trên, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học phẳng, đặc biệt là tính chất của trung điểm và các tam giác bằng nhau.

**Giả thiết:**
- Hai đoạn thẳng AB và DC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

**Ký hiệu:**
- Gọi O là giao điểm của AB và DC.
- Vì O là trung điểm của AB và DC, ta có:
- \( OA = OB \)
- \( OC = OD \)

**Chứng minh:**

**a. Tam giác AOC = tam giác BOD**

Xét hai tam giác \( \triangle AOC \) và \( \triangle BOD \):

1. \( OA = OB \) (O là trung điểm của AB)
2. \( OC = OD \) (O là trung điểm của DC)
3. \( \angle AOC = \angle BOD \) (đối đỉnh)

Theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c) của tam giác, ta có:
\[ \triangle AOC = \triangle BOD \]

**b. AD = BC và AD // BC**

Xét hai đoạn thẳng AD và BC:

1. Vì O là trung điểm của AB và DC, ta có:
- \( OA = OB \)
- \( OC = OD \)

2. Xét hai tam giác \( \triangle AOD \) và \( \triangle BOC \):

- \( OA = OB \) (O là trung điểm của AB)
- \( OD = OC \) (O là trung điểm của DC)
- \( \angle AOD = \angle BOC \) (đối đỉnh)

Theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c) của tam giác, ta có:
\[ \triangle AOD = \triangle BOC \]

Do đó, các cạnh tương ứng của hai tam giác này bằng nhau:
\[ AD = BC \]

3. Vì \( \triangle AOD = \triangle BOC \), các góc tương ứng cũng bằng nhau:
\[ \angle OAD = \angle OBC \]

Do đó, hai đoạn thẳng AD và BC song song với nhau:
\[ AD // BC \]

**Kết luận:**
- Tam giác \( \triangle AOC = \triangle BOD \)
- \( AD = BC \) và \( AD // BC \)