Cho ba số thực a, b, c. Chứng minh: a^2 + b^2 + c^2 +3 >= (2+a+b+c)

Để chứng minh bất đẳng thức \(a^2 + b^2 + c^2 + 3 \geq 2 + a + b + c\) cho ba số thực \(a, b, c\), ta có thể làm như sau:

Đầu tiên, ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng dễ xử lý hơn:

\[a^2 + b^2 + c^2 + 3 \geq 2 + a + b + c\]

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:

\[a^2 + b^2 + c^2 + 3 - 2 - a - b - c \geq 0\]

Rút gọn:

\[a^2 + b^2 + c^2 - a - b - c + 1 \geq 0\]

Bây giờ, ta sẽ nhóm các hạng tử lại và sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc bất đẳng thức cơ bản của số học để chứng minh.

Xét hàm \(f(x) = x^2 - x\). Ta có:

\[f(x) = x^2 - x = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\]

Do đó:

\[x^2 - x \geq -\frac{1}{4}\]

Áp dụng cho \(a, b, c\):

\[a^2 - a \geq -\frac{1}{4}\]
\[b^2 - b \geq -\frac{1}{4}\]
\[c^2 - c \geq -\frac{1}{4}\]

Cộng ba bất đẳng thức này lại:

\[a^2 - a + b^2 - b + c^2 - c \geq -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{3}{4}\]

Do đó:

\[a^2 + b^2 + c^2 - a - b - c \geq -\frac{3}{4}\]

Thêm 1 vào cả hai vế:

\[a^2 + b^2 + c^2 - a - b - c + 1 \geq -\frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{4}\]

Vậy ta có:

\[a^2 + b^2 + c^2 - a - b - c + 1 \geq 0\]

Điều này chứng minh rằng:

\[a^2 + b^2 + c^2 + 3 \geq 2 + a + b + c\]

Bất đẳng thức đã được chứng minh.