Cho hình thoi ABCD có góc \( \angle A = 60^\circ \). Một đường thẳng đi qua A cắt các tia CD, CB lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh tam giác \( \triangle ADM \) đồng dạng với tam giác \( \triangle NBA \):

Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta cần chứng minh rằng chúng có các góc tương ứng bằng nhau.

- Vì ABCD là hình thoi, nên các cạnh của nó bằng nhau: \( AB = BC = CD = DA \).
- Góc \( \angle A = 60^\circ \), do đó các góc còn lại của hình thoi là \( \angle B = \angle D = 120^\circ \) và \( \angle C = 60^\circ \).

Xét tam giác \( \triangle ADM \) và tam giác \( \triangle NBA \):

- \( \angle DAM \) và \( \angle BAN \) là các góc đối đỉnh, nên \( \angle DAM = \angle BAN \).
- \( \angle ADM \) và \( \angle NBA \) là các góc tương ứng của hai tam giác, do đó ta cần chứng minh rằng chúng bằng nhau.

Ta có:
- \( \angle DAB = 60^\circ \) (góc của hình thoi).
- \( \angle ADM \) là góc ngoài của tam giác \( \triangle DAB \), nên \( \angle ADM = 180^\circ - \angle DAB = 120^\circ \).
- \( \angle NBA \) là góc ngoài của tam giác \( \triangle BDA \), nên \( \angle NBA = 180^\circ - \angle ABD = 120^\circ \).

Do đó, \( \angle ADM = \angle NBA = 120^\circ \).

Vậy, tam giác \( \triangle ADM \) đồng dạng với tam giác \( \triangle NBA \) theo trường hợp góc-góc (AA).

b) Chứng minh \( MD \cdot BN = BD^2 \):

Từ phần a, ta đã chứng minh rằng tam giác \( \triangle ADM \) đồng dạng với tam giác \( \triangle NBA \). Do đó, ta có tỉ lệ các cạnh tương ứng:

\[
\frac{AD}{AB} = \frac{DM}{BN}
\]

Vì ABCD là hình thoi, nên \( AD = AB = BD \). Do đó, ta có:

\[
\frac{BD}{BD} = \frac{DM}{BN}
\]

Suy ra:

\[
1 = \frac{DM}{BN} \implies DM = BN
\]

Từ đó, ta có:

\[
MD \cdot BN = BD^2
\]

Vậy, ta đã chứng minh được \( MD \cdot BN = BD^2 \).