Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.

### Phần a) Tính góc BED và góc BDE

1. **Tính góc B:**
\[
\text{Góc B} = 180^\circ - \text{góc A} - \text{góc C} = 180^\circ - 60^\circ - 40^\circ = 80^\circ
\]

2. **Tính góc BDC:**
\[
\text{Góc BDC} = 120^\circ \quad (\text{theo đề bài})
\]

3. **Tính góc DBC:**
\[
\text{Góc DBC} = 180^\circ - \text{góc BDC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ
\]

4. **Tính góc BDE:**
Vì DE song song với BC nên góc BDE bằng góc DBC:
\[
\text{Góc BDE} = \text{Góc DBC} = 60^\circ
\]

5. **Tính góc BED:**
\[
\text{Góc BED} = 180^\circ - \text{góc BDE} - \text{góc B} = 180^\circ - 60^\circ - 80^\circ = 40^\circ
\]

### Phần b) Chứng minh rằng DF song song với AB

1. **Phân giác của góc BDC cắt BC tại F:**
\[
\text{Góc BDF} = \text{Góc CDF} = 60^\circ
\]

2. **Chứng minh DF song song với AB:**
Vì góc BDF = góc CDF = 60 độ và góc A = 60 độ, nên:
\[
\text{Góc BDF} = \text{Góc CAB}
\]
Do đó, DF song song với AB.

### Phần c) Chứng minh rằng DF = BE

1. **Xét tam giác BDE và tam giác DFC:**
- Góc BDE = Góc DFC = 60 độ (vì DE song song với BC)
- Góc BED = Góc DCF = 40 độ (vì DE song song với BC)

2. **Chứng minh tam giác BDE và tam giác DFC đồng dạng:**
\[
\triangle BDE \sim \triangle DFC \quad (\text{góc-góc})
\]

3. **Từ sự đồng dạng, ta có:**
\[
\frac{BE}{DF} = \frac{BD}{DC}
\]
Vì BD = DC (do phân giác của góc BDC chia BC thành hai đoạn bằng nhau), nên:
\[
BE = DF
\]

### Phần d) Chứng minh rằng hai đoạn thẳng BD và EF cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó

1. **Xét tam giác BDE và tam giác DFC:**
- Ta đã chứng minh tam giác BDE và tam giác DFC đồng dạng và BE = DF.

2. **Chứng minh O là trung điểm của BD và EF:**
- Vì BE = DF và tam giác BDE đồng dạng với tam giác DFC, nên:
\[
\frac{BO}{OD} = \frac{EO}{OF} = 1
\]
- Do đó, O là trung điểm của BD và EF.

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành tất cả các phần của bài toán.