Để giải quyết các bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng các định lý và tính chất của tam giác vuông, đường trung tuyến, và các đường cao. Dưới đây là các bước giải chi tiết:

### a) Chứng minh: \( AH \cdot BC = AB \cdot AC \)

Trong tam giác vuông \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), ta có:
- \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- \( BC \) là cạnh huyền của tam giác vuông \( \Delta ABC \).

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[ AH^2 = BH \cdot HC \]

Mặt khác, trong tam giác vuông \( \Delta ABC \), ta có:
\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]

Sử dụng định lý đường cao, ta có:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]

Nhân cả hai vế với \( BC \), ta được:
\[ AH \cdot BC = AB \cdot AC \]

### b) Chứng minh: \( IB^2 = IM \cdot IN \)

Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( BC \) và \( AB \). Từ \( B \) vẽ đường vuông góc với \( BC \) cắt \( MN \) tại \( I \).

Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( M \) là trung điểm của cạnh huyền trong tam giác vuông \( \Delta ABC \). Do đó, \( M \) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( \Delta ABC \), và bán kính của đường tròn này là \( R = \frac{BC}{2} \).

Vì \( N \) là trung điểm của \( AB \), nên \( N \) cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối từ \( A \) đến \( B \).

Do \( I \) nằm trên đường vuông góc từ \( B \) đến \( BC \), nên \( I \) là chân đường cao từ \( B \) xuống \( BC \). Ta có:
\[ IB \perp BC \]

Sử dụng tính chất của đường trung tuyến và đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[ IB^2 = IM \cdot IN \]

### c) Chứng minh: \( O \) là trung điểm của \( AH \)

Gọi \( O \) là giao điểm của \( IC \) và \( AH \).

Trong tam giác vuông \( \Delta ABC \), \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \). Do đó, \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).

Do \( IC \) là đường trung tuyến từ \( I \) đến \( C \), và \( I \) là trung điểm của \( AB \), nên \( IC \) cắt \( AH \) tại \( O \).

Theo tính chất của đường trung tuyến và đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[ O \] là trung điểm của \( AH \).

Vậy, \( O \) là trung điểm của \( AH \).