Để tìm các giá trị của \( m \) để phương trình \( x^2 - (2m+1)x + m = 0 \) có hai nghiệm \( x_1, x_2 \) thỏa mãn điều kiện \( (x_1 - 1)(x_2 - 1) \geq 19 \), ta làm như sau:

1. **Tính toán biểu thức \( (x_1 - 1)(x_2 - 1) \)**:
\[
(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1 x_2 - (x_1 + x_2) + 1
\]
Theo định lý Vieta, ta có:
- \( x_1 + x_2 = 2m + 1 \)
- \( x_1 x_2 = m \)

Vậy:
\[
(x_1 - 1)(x_2 - 1) = m - (2m + 1) + 1 = m - 2m = -m
\]

2. **Thay biểu thức vào điều kiện**:
\[
-m \geq 19 \implies m \leq -19
\]

3. **Xác định điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt**:
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là:
\[
(2m + 1)^2 - 4m > 0
\]
Giải biểu thức này:
\[
4m^2 + 4m + 1 - 4m > 0 \implies 4m^2 + 1 > 0
\]
Biểu thức này luôn đúng với mọi giá trị của \( m \) vì \( 4m^2 + 1 \) luôn dương.

4. **Kết hợp các điều kiện**:
Từ bước 2 ta biết rằng \( m \leq -19 \). Điều kiện nghiệm phân biệt không giới hạn thêm giá trị của \( m \).

Vậy, các giá trị của \( m \) để phương trình có hai nghiệm \( x_1, x_2 \) thỏa mãn điều kiện \( (x_1 - 1)(x_2 - 1) \geq 19 \) là:
\[
\boxed{(-\infty, -19]}
\]