Để tìm tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt{6 - 5x} = 2 - x\), chúng ta sẽ giải phương trình này từng bước một.

1. **Xác định điều kiện xác định của phương trình:**

\(\sqrt{6 - 5x}\) có nghĩa là \(6 - 5x \geq 0\), tức là:
\[
6 - 5x \geq 0 \implies 5x \leq 6 \implies x \leq \frac{6}{5}
\]

2. **Bình phương hai vế của phương trình để loại bỏ căn bậc hai:**

\[
(\sqrt{6 - 5x})^2 = (2 - x)^2
\]
\[
6 - 5x = 4 - 4x + x^2
\]

3. **Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai:**

\[
x^2 + x - 2 = 0
\]

4. **Giải phương trình bậc hai:**

Phương trình \(x^2 + x - 2 = 0\) có thể giải bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \(a = 1\), \(b = 1\), và \(c = -2\):
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}
\]
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2}
\]
\[
x = \frac{-1 \pm 3}{2}
\]

Do đó, chúng ta có hai nghiệm:
\[
x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1
\]
\[
x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2
\]

5. **Kiểm tra các nghiệm với điều kiện xác định \(x \leq \frac{6}{5}\):**

- Với \(x = 1\):
\[
1 \leq \frac{6}{5} \quad \text{(đúng)}
\]
Kiểm tra lại trong phương trình ban đầu:
\[
\sqrt{6 - 5 \cdot 1} = 2 - 1
\]
\[
\sqrt{1} = 1 \quad \text{(đúng)}
\]

- Với \(x = -2\):
\[
-2 \leq \frac{6}{5} \quad \text{(đúng)}
\]
Kiểm tra lại trong phương trình ban đầu:
\[
\sqrt{6 - 5 \cdot (-2)} = 2 - (-2)
\]
\[
\sqrt{6 + 10} = 2 + 2
\]
\[
\sqrt{16} = 4 \quad \text{(đúng)}
\]

6. **Tính tổng các nghiệm:**

Tổng các nghiệm là:
\[
x_1 + x_2 = 1 + (-2) = -1
\]

Vậy tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt{6 - 5x} = 2 - x\) là \(-1\).