Cho tứ giác ABCD và điểm E không nằm trên đường thẳng DA. Gọi M, N, P, Q theo tứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, EA. Gọi X, Y theo thứ tự là trung điểm của MP, NQ

Để chứng minh \( DE = 4XY \), ta sẽ sử dụng các tính chất của trung điểm và các đoạn thẳng song song. Dưới đây là các bước chi tiết:

1. **Xác định các trung điểm:**
- \( M \) là trung điểm của \( AB \).
- \( N \) là trung điểm của \( BC \).
- \( P \) là trung điểm của \( CD \).
- \( Q \) là trung điểm của \( EA \).

2. **Xác định các đoạn thẳng trung bình:**
- \( MP \) là đoạn thẳng nối các trung điểm của \( AB \) và \( CD \).
- \( NQ \) là đoạn thẳng nối các trung điểm của \( BC \) và \( EA \).

3. **Xác định các trung điểm của \( MP \) và \( NQ \):**
- \( X \) là trung điểm của \( MP \).
- \( Y \) là trung điểm của \( NQ \).

4. **Sử dụng tính chất của đường trung bình trong tam giác:**
- Trong tam giác \( ADE \), \( Q \) là trung điểm của \( AE \) và \( P \) là trung điểm của \( CD \). Do đó, \( PQ \) là đường trung bình của tam giác \( ADE \), và \( PQ \parallel DE \) và \( PQ = \frac{1}{2} DE \).

5. **Xét tam giác \( MNP \):**
- \( X \) là trung điểm của \( MP \) và \( Y \) là trung điểm của \( NQ \). Do đó, \( XY \) là đường trung bình của tam giác \( MNP \), và \( XY \parallel PQ \) và \( XY = \frac{1}{2} PQ \).

6. **Kết hợp các kết quả:**
- Từ các bước trên, ta có:
\[
PQ = \frac{1}{2} DE
\]
và
\[
XY = \frac{1}{2} PQ.
\]
- Thay \( PQ \) vào, ta có:
\[
XY = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} DE \right) = \frac{1}{4} DE.
\]

7. **Kết luận:**
- Từ đó, ta suy ra:
\[
DE = 4XY.
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( DE = 4XY \).