Để chứng minh \( a + 4b \) chia hết cho 13 khi \( 10a + b \) chia hết cho 13, ta bắt đầu từ giả thiết \( 10a + b \) chia hết cho 13.

Giả sử \( 10a + b = 13k \) với \( k \) là một số nguyên.

Ta cần chứng minh \( a + 4b \) chia hết cho 13, tức là \( a + 4b = 13m \) với \( m \) là một số nguyên.

Từ phương trình \( 10a + b = 13k \), ta có:
\[ b = 13k - 10a \]

Thay \( b \) vào biểu thức \( a + 4b \):
\[ a + 4b = a + 4(13k - 10a) \]
\[ = a + 52k - 40a \]
\[ = -39a + 52k \]
\[ = -39a + 52k \]

Ta thấy rằng \( -39a \) và \( 52k \) đều là bội của 13:
\[ -39a = -3 \cdot 13a \]
\[ 52k = 4 \cdot 13k \]

Do đó:
\[ -39a + 52k = -3 \cdot 13a + 4 \cdot 13k = 13(-3a + 4k) \]

Vì \( -3a + 4k \) là một số nguyên, ta có thể viết:
\[ a + 4b = 13(-3a + 4k) \]

Điều này chứng tỏ rằng \( a + 4b \) chia hết cho 13.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu \( 10a + b \) chia hết cho 13 thì \( a + 4b \) cũng chia hết cho 13.