Để giải bài toán này, ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

### Phần a: Tính số đo góc B và C

Cho tam giác ABC có góc A = 108°. Ta biết tổng ba góc trong một tam giác là 180°. Do đó, ta có:

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180° \]

Thay giá trị của \(\angle A\) vào:

\[ 108° + \angle B + \angle C = 180° \]

Suy ra:

\[ \angle B + \angle C = 180° - 108° = 72° \]

Vì không có thêm thông tin về tam giác, ta chỉ có thể kết luận rằng tổng của góc B và góc C là 72°.

### Phần b: Chứng minh A, O, I thẳng hàng

- O là giao điểm của hai đường trung trực của cạnh AB và AC.
- I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác.

Để chứng minh A, O, I thẳng hàng, ta cần sử dụng một số tính chất hình học:

1. **Tính chất của đường trung trực**: Đường trung trực của một đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Do đó, O là điểm cách đều A và B, và cũng cách đều A và C.

2. **Tính chất của đường phân giác**: Đường phân giác của một góc trong tam giác chia góc đó thành hai góc bằng nhau và cắt cạnh đối diện tại điểm cách đều hai cạnh kề của góc đó.

3. **Tính chất của tam giác cân**: Nếu tam giác ABC có góc A = 108°, thì tam giác này không phải là tam giác đều hay tam giác cân đặc biệt. Tuy nhiên, nếu ta xét tam giác cân tại A với góc A = 108°, thì hai góc còn lại sẽ là 36° mỗi góc.

4. **Tính chất của điểm O và I**: Trong tam giác, điểm O (tâm đường tròn ngoại tiếp) và điểm I (tâm đường tròn nội tiếp) thường không thẳng hàng với đỉnh A trừ khi tam giác có tính chất đặc biệt (ví dụ: tam giác cân hoặc tam giác đều).

Do đó, để chứng minh A, O, I thẳng hàng, ta cần thêm thông tin hoặc giả thiết đặc biệt về tam giác ABC. Với thông tin hiện tại, ta không thể kết luận chắc chắn rằng A, O, I thẳng hàng.

### Phần c: Chứng minh BC là đường trung trực của OI

Để chứng minh BC là đường trung trực của OI, ta cần chứng minh rằng BC vuông góc với OI tại trung điểm của OI.

1. **Tính chất của đường trung trực**: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.

2. **Tính chất của tam giác và các điểm đặc biệt**: Trong tam giác ABC, nếu O là tâm đường tròn ngoại tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp, thì đoạn OI có tính chất đặc biệt liên quan đến các đường trung trực và phân giác của tam giác.

Tuy nhiên, với thông tin hiện tại, ta không có đủ dữ kiện để chứng minh BC là đường trung trực của OI mà không có thêm giả thiết hoặc thông tin về tam giác ABC.

### Kết luận

- Phần a: Tổng số đo góc B và C là 72°.
- Phần b và c: Cần thêm thông tin hoặc giả thiết đặc biệt về tam giác ABC để chứng minh các tính chất liên quan đến điểm O và I.

Nếu có thêm thông tin hoặc giả thiết đặc biệt về tam giác ABC, ta có thể tiếp tục giải quyết các phần b và c.