Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần một.

### Phần a:
Chứng minh \( \frac{AC}{DC} = \frac{HC}{HD} \)

Ta có hình thang ABCD với \( AD \parallel BC \) và \( AD > BC \). Đường chéo AC cắt đường chéo BD tại điểm H.

Xét tam giác \( ACD \), ta có:
- \( AC \) và \( CD \) là hai cạnh của tam giác.
- \( CH \) là đường cao từ đỉnh C xuống cạnh AD.

Theo định lý đường phân giác trong tam giác, ta có:
\[ \frac{AC}{CD} = \frac{AH}{HD} \]

Do \( CH \) là đường cao từ C xuống AD, ta có:
\[ \frac{AC}{CD} = \frac{HC}{HD} \]

Vậy ta đã chứng minh được \( \frac{AC}{DC} = \frac{HC}{HD} \).

### Phần b:
E, F lần lượt là trung điểm của AH và CH. Chứng minh \( \triangle AEC \) đồng dạng với \( \triangle ACED \).

Do E là trung điểm của AH và F là trung điểm của CH, ta có:
\[ AE = \frac{1}{2}AH \]
\[ CF = \frac{1}{2}CH \]

Xét tam giác \( AEC \) và \( ACED \):
- \( \angle AEC = \angle ACED \) (góc chung)
- \( \frac{AE}{AC} = \frac{1/2 AH}{AC} = \frac{1}{2} \frac{AH}{AC} \)
- \( \frac{CE}{CD} = \frac{1/2 CH}{CD} = \frac{1/2} \frac{CH}{CD} \)

Do đó, \( \triangle AEC \) đồng dạng với \( \triangle ACED \) theo trường hợp góc-góc (AA).

### Phần c:
Chứng minh CE vuông góc DF.

Do E là trung điểm của AH và F là trung điểm của CH, ta có:
\[ AE = \frac{1}{2}AH \]
\[ CF = \frac{1}{2}CH \]

Xét tam giác \( AHC \), E và F lần lượt là trung điểm của AH và CH, nên EF là đường trung bình của tam giác \( AHC \). Theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, EF song song với AC và bằng một nửa AC.

Do đó, EF song song với AC và \( DF \) là đường cao từ D đến AC, nên \( EF \) vuông góc với \( DF \).

### Phần d:
Tính diện tích ABCD khi \( AC = 8 \) cm, \( BC = 5 \) cm, \( DC = 6 \) cm.

Để tính diện tích hình thang ABCD, ta cần chiều cao của hình thang. Ta sẽ sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác \( ACD \).

Đầu tiên, tính nửa chu vi tam giác \( ACD \):
\[ s = \frac{AC + CD + AD}{2} \]

Giả sử \( AD = x \), ta có:
\[ s = \frac{8 + 6 + x}{2} = \frac{14 + x}{2} \]

Diện tích tam giác \( ACD \) là:
\[ S_{ACD} = \sqrt{s(s - AC)(s - CD)(s - AD)} \]
\[ S_{ACD} = \sqrt{\frac{14 + x}{2} \left( \frac{14 + x}{2} - 8 \right) \left( \frac{14 + x}{2} - 6 \right) \left( \frac{14 + x}{2} - x \right)} \]

Tính chiều cao \( CH \) từ diện tích tam giác \( ACD \):
\[ S_{ACD} = \frac{1}{2} \times AD \times CH \]
\[ CH = \frac{2S_{ACD}}{AD} \]

Sau khi tính được \( CH \), diện tích hình thang ABCD là:
\[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times CH \]

Do \( AD \) không được cho trong đề bài, ta không thể tính chính xác diện tích hình thang ABCD mà không có thêm thông tin về \( AD \).