Để tìm giá trị của \( x \) trong phương trình \( \sqrt{x} + 3 = t \) với \( t \) có hai giá trị khả dĩ là \( \frac{11 + \sqrt{57}}{16} \) hoặc \( \frac{11 - \sqrt{57}}{16} \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Giải phương trình với \( t = \frac{11 + \sqrt{57}}{16} \):**

\[
\sqrt{x} + 3 = \frac{11 + \sqrt{57}}{16}
\]

Trừ 3 từ cả hai vế của phương trình:

\[
\sqrt{x} = \frac{11 + \sqrt{57}}{16} - 3
\]

Đưa 3 về dạng phân số với mẫu số là 16:

\[
3 = \frac{48}{16}
\]

Do đó:

\[
\sqrt{x} = \frac{11 + \sqrt{57}}{16} - \frac{48}{16} = \frac{11 + \sqrt{57} - 48}{16} = \frac{-37 + \sqrt{57}}{16}
\]

Bình phương cả hai vế để tìm \( x \):

\[
x = \left( \frac{-37 + \sqrt{57}}{16} \right)^2
\]

\[
x = \frac{(-37 + \sqrt{57})^2}{256}
\]

\[
x = \frac{1369 - 2 \cdot 37 \cdot \sqrt{57} + 57}{256}
\]

\[
x = \frac{1369 + 57 - 74 \sqrt{57}}{256}
\]

\[
x = \frac{1426 - 74 \sqrt{57}}{256}
\]

2. **Giải phương trình với \( t = \frac{11 - \sqrt{57}}{16} \):**

\[
\sqrt{x} + 3 = \frac{11 - \sqrt{57}}{16}
\]

Trừ 3 từ cả hai vế của phương trình:

\[
\sqrt{x} = \frac{11 - \sqrt{57}}{16} - 3
\]

Đưa 3 về dạng phân số với mẫu số là 16:

\[
3 = \frac{48}{16}
\]

Do đó:

\[
\sqrt{x} = \frac{11 - \sqrt{57}}{16} - \frac{48}{16} = \frac{11 - \sqrt{57} - 48}{16} = \frac{-37 - \sqrt{57}}{16}
\]

Bình phương cả hai vế để tìm \( x \):

\[
x = \left( \frac{-37 - \sqrt{57}}{16} \right)^2
\]

\[
x = \frac{(-37 - \sqrt{57})^2}{256}
\]

\[
x = \frac{1369 + 2 \cdot 37 \cdot \sqrt{57} + 57}{256}
\]

\[
x = \frac{1369 + 57 + 74 \sqrt{57}}{256}
\]

\[
x = \frac{1426 + 74 \sqrt{57}}{256}
\]

Vậy, giá trị của \( x \) có thể là:

\[
x = \frac{1426 - 74 \sqrt{57}}{256} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{1426 + 74 \sqrt{57}}{256}
\]