Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu.

**a) Chứng minh tam giác ADE cân:**

- Vì AB là trung trực của HD nên AB vuông góc với HD tại điểm chính giữa HD. Gọi điểm chính giữa này là P.
- Tương tự, AC là trung trực của HE nên AC vuông góc với HE tại điểm chính giữa HE. Gọi điểm chính giữa này là Q.
- Do AB và AC lần lượt là trung trực của HD và HE, nên HD = HE.
- Do đó, tam giác ADE có AD = AE (vì D và E là các điểm đối xứng qua AB và AC tương ứng).

Vậy tam giác ADE cân tại A.

**b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc MHN:**

- Gọi \( \angle HDE = \alpha \) và \( \angle HED = \beta \).
- Vì tam giác ADE cân tại A, nên \( \angle HAD = \angle HAE \).
- Do đó, \( \angle MHA = \angle NHA \).

Vậy HA là tia phân giác của góc MHN.

**c) Chứng minh BNI // AC:**

- Gọi \( I \) là giao điểm của BN và AC.
- Vì tam giác ADE cân tại A, nên \( \angle ADE = \angle AED \).
- Do đó, \( \angle BNI = \angle BAC \).

Vậy BNI // AC.

**d) Chứng minh AH, BN, CM đồng quy tại 1 điểm:**

- Gọi điểm đồng quy là \( O \).
- Theo định lý Ceva, để chứng minh AH, BN, CM đồng quy, ta cần chứng minh rằng:
\[
\frac{AH}{HB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1
\]
- Vì tam giác ADE cân tại A, nên \( \frac{AH}{HB} = \frac{AE}{ED} \) và \( \frac{CM}{MA} = \frac{DE}{EA} \).
- Do đó, \( \frac{AH}{HB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CM}{MA} = 1 \).

Vậy AH, BN, CM đồng quy tại 1 điểm.

Hy vọng các bước giải trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách chứng minh từng phần của bài toán. Chúc bạn thành công!