Để giải phương trình:

\[
\frac{3}{x+3} - \frac{1}{x-2} = \frac{5}{2x+6}
\]

Trước tiên, ta nhận thấy rằng \(2x + 6 = 2(x + 3)\). Do đó, phương trình có thể được viết lại như sau:

\[
\frac{3}{x+3} - \frac{1}{x-2} = \frac{5}{2(x+3)}
\]

Bây giờ, ta nhân cả hai vế của phương trình với \(2(x+3)(x-2)\) để loại bỏ các mẫu số:

\[
2(x+3)(x-2) \left( \frac{3}{x+3} - \frac{1}{x-2} \right) = 2(x+3)(x-2) \left( \frac{5}{2(x+3)} \right)
\]

Điều này dẫn đến:

\[
2(x-2) \cdot 3 - 2(x+3) \cdot 1 = (x-2) \cdot 5
\]

Giải thích từng bước:

\[
6(x-2) - 2(x+3) = 5(x-2)
\]

Mở rộng các biểu thức:

\[
6x - 12 - 2x - 6 = 5x - 10
\]

Kết hợp các hạng tử giống nhau:

\[
4x - 18 = 5x - 10
\]

Chuyển các hạng tử chứa \(x\) về một vế và các hạng tử không chứa \(x\) về vế còn lại:

\[
-18 + 10 = 5x - 4x
\]

\[
-8 = x
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = -8\).