Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

### a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn phân thức \( A = \frac{x-3}{x^3 - 27} \)

1. **Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)**:

Phân thức sẽ không xác định khi mẫu bằng 0. Do đó, ta cần giải cho \( x^3 - 27 = 0 \):
\[
x^3 - 27 = 0 \implies x^3 = 27 \implies x = 3.
\]
Vậy, điều kiện xác định là \( x \neq 3 \).

2. **Rút gọn phân thức**:

Ta có thể rút gọn phân thức \( A \).
Mẫu số \( x^3 - 27 \) có thể được phân tích thành tích như sau (theo hạng tử lập phương):
\[
x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9).
\]
Do đó, phân thức \( A \) có thể viết lại như sau:
\[
A = \frac{x-3}{(x-3)(x^2 + 3x + 9)}.
\]
Với \( x \neq 3 \), ta có thể rút gọn \( A \):
\[
A = \frac{1}{x^2 + 3x + 9} \quad (x \neq 3).
\]

### b) Tìm giá trị lớn nhất của phân thức \( A \)

Để tìm giá trị lớn nhất của \( A = \frac{1}{x^2 + 3x + 9} \), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của mẫu số \( x^2 + 3x + 9 \).

1. **Xét hàm số trong mẫu**:
Hàm số \( f(x) = x^2 + 3x + 9 \) là một hàm bậc 2 có hệ số trước \( x^2 \) dương, vì vậy nó có cực tiểu.

2. **Tìm cực trị**:
Để tìm cực trị, ta tính đạo hàm của \( f(x) \):
\[
f'(x) = 2x + 3.
\]
Đặt \( f'(x) = 0 \):
\[
2x + 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{2}.
\]

3. **Tính giá trị tại cực trị**:
Tính \( f\left(-\frac{3}{2}\right) \):
\[
f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{2}\right) + 9 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 9.
\]
Đổi tất cả về mẫu số 4:
\[
f\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{36}{4} = \frac{9 - 18 + 36}{4} = \frac{27}{4}.
\]

4. **Giá trị nhỏ nhất của mẫu**:
Như vậy, giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) là \( \frac{27}{4} \).

5. **Giá trị lớn nhất của \( A \)**:
\( A = \frac{1}{f(x)} \), vì vậy giá trị lớn nhất của \( A \) là:
\[
A_{\text{max}} = \frac{1}{\frac{27}{4}} = \frac{4}{27}.
\]

### Kết luận
Vậy:
- **Điều kiện xác định** là \( x \neq 3 \).
- **Phân thức rút gọn** là \( A = \frac{1}{x^2 + 3x + 9} \).
- **Giá trị lớn nhất của phân thức** \( A \) là \( \frac{4}{27} \).