Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các tính chất của hình vuông và các định lý hình học cơ bản. Dưới đây là các bước chứng minh cho từng phần của bài toán:

### a) Chứng minh rằng: \( \Delta DN \sim \Delta CM \) suy ra \( \frac{CI}{CM} = \frac{CN}{CB} \)

1. **Chứng minh \( \Delta DN \sim \Delta CM \):**
- Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC, nên AM = MB và BN = NC.
- Xét hai tam giác DN và CM:
- \( \angle DNC = \angle CMB = 90^\circ \) (góc vuông của hình vuông).
- \( \frac{DN}{CM} = \frac{DN}{DN} = 1 \) (vì DN và CM là các đoạn thẳng trong hình vuông có độ dài bằng nhau).
- Do đó, \( \Delta DN \sim \Delta CM \) (góc-góc).

2. **Suy ra \( \frac{CI}{CM} = \frac{CN}{CB} \):**
- Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
- \( \frac{CI}{CM} = \frac{CN}{CB} \).

### b) Chứng minh rằng \( DI = 2CI = 4IN \)

1. **Chứng minh \( DI = 2CI \):**
- Từ phần a, ta có \( \frac{CI}{CM} = \frac{CN}{CB} \).
- Vì \( CN = \frac{CB}{2} \), nên \( \frac{CI}{CM} = \frac{1}{2} \).
- Do đó, \( CI = \frac{CM}{2} \).
- Vì \( CM = DI \) (do I là giao điểm của DN và CM), nên \( DI = 2CI \).

2. **Chứng minh \( DI = 4IN \):**
- Từ \( DI = 2CI \) và \( CI = 2IN \) (vì I là trung điểm của CM và N là trung điểm của BC).
- Do đó, \( DI = 2 \times 2IN = 4IN \).

### c) Kẻ AH ⊥ DN tại H và cắt CD tại P. Chứng minh rằng \( PD = PC \)

1. **Kẻ AH ⊥ DN tại H và cắt CD tại P:**
- Vì AH ⊥ DN tại H, nên H là chân đường vuông góc từ A đến DN.
- P là giao điểm của AH và CD.

2. **Chứng minh \( PD = PC \):**
- Xét tam giác DPC:
- AH là đường cao từ A đến DN và cắt CD tại P.
- Do đó, P là trung điểm của CD (vì AH là đường trung trực của CD trong tam giác vuông DPC).
- Vì P là trung điểm của CD, nên \( PD = PC \).

Như vậy, ta đã chứng minh xong cả ba phần của bài toán.