Cho hình thang \(ABCD\) có \(AB \parallel CD\). Lấy điểm \(I\) trên cạnh \(AD\). Từ \(I\) kẻ đường thẳng song song với \(CD\) cắt \(AC\) và \(AB\) lần lượt tại \(O\) và \(K\).

a) Chứng minh \(\frac{AI}{ID} = \frac{AO}{OC}\).

**Chứng minh:**

Do \(IK \parallel CD\) và \(AB \parallel CD\), ta có \(IK \parallel AB\).

Xét hai tam giác \(\Delta AID\) và \(\Delta AOC\):

- \(IK \parallel CD\) nên \(IK \parallel OC\).
- Góc \(\angle AID = \angle AOC\) (góc đồng vị).

Do đó, hai tam giác \(\Delta AID\) và \(\Delta AOC\) đồng dạng với nhau theo trường hợp góc-góc (AA).

Vì hai tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AI}{ID} = \frac{AO}{OC}
\]

b) Chứng minh \(\frac{AO}{OC} = \frac{BK}{KC}\).

**Chứng minh:**

Xét hai tam giác \(\Delta AOC\) và \(\Delta BKC\):

- \(IK \parallel AB\) nên \(IK \parallel BK\).
- Góc \(\angle AOC = \angle BKC\) (góc đồng vị).

Do đó, hai tam giác \(\Delta AOC\) và \(\Delta BKC\) đồng dạng với nhau theo trường hợp góc-góc (AA).

Vì hai tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AO}{OC} = \frac{BK}{KC}
\]

c) Chứng minh \(AI \cdot KC = ID \cdot BK\).

**Chứng minh:**

Từ phần a và b, ta có:
\[
\frac{AI}{ID} = \frac{AO}{OC} \quad \text{và} \quad \frac{AO}{OC} = \frac{BK}{KC}
\]

Do đó:
\[
\frac{AI}{ID} = \frac{BK}{KC}
\]

Suy ra:
\[
AI \cdot KC = ID \cdot BK
\]

Vậy ta đã chứng minh được \(AI \cdot KC = ID \cdot BK\).