Để hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - (m + 1)x^2 + (2m + 1)x + 1 \) đạt cực tiểu tại \( x = 3 \), ta cần tìm giá trị của \( m \).

Đầu tiên, ta tính đạo hàm bậc nhất của hàm số:
\[ y' = x^2 - 2(m + 1)x + (2m + 1) \]

Để hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 3 \), ta cần \( y'(3) = 0 \):
\[ y'(3) = 3^2 - 2(m + 1) \cdot 3 + (2m + 1) = 0 \]
\[ 9 - 6(m + 1) + (2m + 1) = 0 \]
\[ 9 - 6m - 6 + 2m + 1 = 0 \]
\[ 4 - 4m = 0 \]
\[ 4m = 4 \]
\[ m = 1 \]

Vậy giá trị của \( m \) là \( m = 1 \). Đáp án đúng là:
B. \( m = 1 \)