Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các biểu thức trong bài toán, ta cần phân tích từng biểu thức một cách chi tiết.

**Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:**

a) \( A = \sqrt{x^2 + 1} - 6 \)

- \( \sqrt{x^2 + 1} \geq 1 \) vì \( x^2 \geq 0 \).
- Do đó, \( A \geq 1 - 6 = -5 \).
- Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( -5 \) khi \( x = 0 \).

b) \( B = 2x - 6 + 7 \)

- \( B = 2x + 1 \).
- Biểu thức này không có giá trị nhỏ nhất vì \( 2x + 1 \) có thể giảm vô hạn khi \( x \) giảm vô hạn.

c) \( C = |x + 7| - 1 \)

- \( |x + 7| \geq 0 \).
- Do đó, \( C \geq -1 \).
- Giá trị nhỏ nhất của \( C \) là \( -1 \) khi \( x = -7 \).

d) \( D = 4 + 3 \)

- Đây là một hằng số, nên giá trị nhỏ nhất của \( D \) là \( 7 \).

**Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:**

a) \( M = 4 - \sqrt{x + 1} \)

- \( \sqrt{x + 1} \geq 0 \).
- Do đó, \( M \leq 4 \).
- Giá trị lớn nhất của \( M \) là \( 4 \) khi \( x = -1 \).

b) \( N = 2024 - 3\sqrt{x - 4} \)

- \( \sqrt{x - 4} \geq 0 \) khi \( x \geq 4 \).
- Do đó, \( N \leq 2024 \).
- Giá trị lớn nhất của \( N \) là \( 2024 \) khi \( x = 4 \).

c) \( P = \frac{1}{2} |7 - 2x| \)

- \( |7 - 2x| \geq 0 \).
- Do đó, \( P \geq 0 \).
- Biểu thức này không có giá trị lớn nhất vì \( |7 - 2x| \) có thể tăng vô hạn khi \( x \) thay đổi.

d) \( Q = 15 - 7|x^2 + 2| \)

- \( |x^2 + 2| \geq 2 \) vì \( x^2 \geq 0 \).
- Do đó, \( Q \leq 15 - 7 \times 2 = 1 \).
- Giá trị lớn nhất của \( Q \) là \( 1 \) khi \( x = 0 \).

Tóm lại:
- Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( -5 \).
- Biểu thức \( B \) không có giá trị nhỏ nhất.
- Giá trị nhỏ nhất của \( C \) là \( -1 \).
- Giá trị nhỏ nhất của \( D \) là \( 7 \).
- Giá trị lớn nhất của \( M \) là \( 4 \).
- Giá trị lớn nhất của \( N \) là \( 2024 \).
- Biểu thức \( P \) không có giá trị lớn nhất.
- Giá trị lớn nhất của \( Q \) là \( 1 \).