a. Rút gọn A và B:

Đầu tiên, ta rút gọn A:

\[ A = \frac{1}{2(1 + \sqrt{a + 2})} + \frac{1}{2(1 - \sqrt{a + 2})} \]

Để rút gọn biểu thức này, ta quy đồng mẫu số:

\[ A = \frac{1}{2(1 + \sqrt{a + 2})} + \frac{1}{2(1 - \sqrt{a + 2})} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 + \sqrt{a + 2}} + \frac{1}{1 - \sqrt{a + 2}} \right) \]

Ta có thể viết lại biểu thức bên trong dấu ngoặc:

\[ \frac{1}{1 + \sqrt{a + 2}} + \frac{1}{1 - \sqrt{a + 2}} = \frac{(1 - \sqrt{a + 2}) + (1 + \sqrt{a + 2})}{(1 + \sqrt{a + 2})(1 - \sqrt{a + 2})} = \frac{2}{1 - (a + 2)} = \frac{2}{-a - 1} = -\frac{2}{a + 1} \]

Do đó:

\[ A = \frac{1}{2} \left( -\frac{2}{a + 1} \right) = -\frac{1}{a + 1} \]

Tiếp theo, ta rút gọn B:

\[ B = A + \frac{a^2 - 2a}{1 + a^3} = -\frac{1}{a + 1} + \frac{a^2 - 2a}{1 + a^3} \]

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của B:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của B, ta cần xét giá trị của biểu thức:

\[ B = -\frac{1}{a + 1} + \frac{a^2 - 2a}{1 + a^3} \]

Ta xét đạo hàm của B theo biến a và tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị cực tiểu.

\[ B' = \frac{d}{da} \left( -\frac{1}{a + 1} + \frac{a^2 - 2a}{1 + a^3} \right) \]

\[ B' = \frac{d}{da} \left( -\frac{1}{a + 1} \right) + \frac{d}{da} \left( \frac{a^2 - 2a}{1 + a^3} \right) \]

\[ B' = \frac{1}{(a + 1)^2} + \frac{(2a - 2)(1 + a^3) - (a^2 - 2a)(3a^2)}{(1 + a^3)^2} \]

\[ B' = \frac{1}{(a + 1)^2} + \frac{2a + 2a^3 - 2 - 3a^4 + 6a^3}{(1 + a^3)^2} \]

\[ B' = \frac{1}{(a + 1)^2} + \frac{-3a^4 + 8a^3 + 2a - 2}{(1 + a^3)^2} \]

Ta giải phương trình \( B' = 0 \) để tìm giá trị của a tại đó B đạt cực tiểu. Sau đó, thay giá trị đó vào biểu thức B để tìm giá trị nhỏ nhất của B. Tuy nhiên, việc giải phương trình này có thể phức tạp và cần sử dụng các phương pháp giải phương trình bậc cao hoặc công cụ tính toán để tìm nghiệm chính xác.

Trong trường hợp này, ta có thể sử dụng công cụ tính toán hoặc phần mềm để tìm nghiệm của phương trình đạo hàm và giá trị nhỏ nhất của B.