Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của trung tuyến và các định lý trong hình học.

a) Chứng minh \( AD = \frac{1}{2} DC \):

- Gọi \( G \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \). Ta biết rằng trọng tâm chia trung tuyến thành 2 đoạn với tỉ lệ \( 2:1 \), tức là \( AG = \frac{2}{3} AM \) và \( GM = \frac{1}{3} AM \).
- Vì \( I \) là trung điểm của \( AM \), nên \( AI = IM = \frac{1}{2} AM \).
- Do \( D \) là giao điểm của \( BI \) và \( AC \), nên \( D \) là điểm chia \( AC \) theo tỉ lệ \( 2:1 \) (tính chất của trọng tâm).

Vì vậy, ta có:
\[ AD = \frac{1}{3} AC \]
\[ DC = \frac{2}{3} AC \]

Do đó:
\[ AD = \frac{1}{2} DC \]

b) Tính \( \frac{BD}{ID} \):

- Ta đã biết \( D \) là điểm chia \( AC \) theo tỉ lệ \( 2:1 \), tức là \( AD = \frac{1}{3} AC \) và \( DC = \frac{2}{3} AC \).
- Vì \( I \) là trung điểm của \( AM \), nên \( AI = IM = \frac{1}{2} AM \).

Do đó, \( D \) chia \( BI \) theo tỉ lệ \( 2:1 \), tức là:
\[ \frac{BD}{ID} = 2 \]

Vậy:
\[ \frac{BD}{ID} = 2 \]