31. Rút gọn biểu thức \( A \):

\[ A = \sqrt{a + b + c + 2\sqrt{ac + bc}} + \sqrt{a + b + c - 2\sqrt{ac + bc}} \]

Đặt \( x = \sqrt{a + b + c + 2\sqrt{ac + bc}} \) và \( y = \sqrt{a + b + c - 2\sqrt{ac + bc}} \).

Ta có:
\[ x^2 = a + b + c + 2\sqrt{ac + bc} \]
\[ y^2 = a + b + c - 2\sqrt{ac + bc} \]

Cộng hai phương trình:
\[ x^2 + y^2 = 2(a + b + c) \]

Trừ hai phương trình:
\[ x^2 - y^2 = 4\sqrt{ac + bc} \]

Do đó:
\[ x^2 + y^2 = 2(a + b + c) \]
\[ x^2 - y^2 = 4\sqrt{ac + bc} \]

Từ đó, ta có:
\[ x^2 + y^2 = 2(a + b + c) \]
\[ x^2 - y^2 = 4\sqrt{ac + bc} \]

\[ x^2 = a + b + c + 2\sqrt{ac + bc} \]
\[ y^2 = a + b + c - 2\sqrt{ac + bc} \]

\[ x = \sqrt{a + b + c + 2\sqrt{ac + bc}} \]
\[ y = \sqrt{a + b + c - 2\sqrt{ac + bc}} \]

\[ A = x + y = \sqrt{a + b + c + 2\sqrt{ac + bc}} + \sqrt{a + b + c - 2\sqrt{ac + bc}} \]

\[ A = 2\sqrt{a + b + c} \]

32. Cho biểu thức \( P \):

\[ P = \frac{\sqrt{x + 4\sqrt{x - 4}} + \sqrt{\sqrt{x - 4}\sqrt{x - 4}}}{\sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{16}{x^2}}} \]

a. Rút gọn biểu thức \( P \):

\[ P = \frac{\sqrt{x + 4\sqrt{x - 4}} + \sqrt{\sqrt{x - 4}\sqrt{x - 4}}}{\sqrt{1 + \frac{8}{x} + \frac{16}{x^2}}} \]

Đặt \( t = \sqrt{x - 4} \), ta có:
\[ x = t^2 + 4 \]

\[ P = \frac{\sqrt{t^2 + 4 + 4t} + \sqrt{t^2}}{\sqrt{1 + \frac{8}{t^2 + 4} + \frac{16}{(t^2 + 4)^2}}} \]

\[ P = \frac{\sqrt{(t + 2)^2} + t}{\sqrt{1 + \frac{8}{t^2 + 4} + \frac{16}{(t^2 + 4)^2}}} \]

\[ P = \frac{t + 2 + t}{\sqrt{1 + \frac{8}{t^2 + 4} + \frac{16}{(t^2 + 4)^2}}} \]

\[ P = \frac{2t + 2}{\sqrt{1 + \frac{8}{t^2 + 4} + \frac{16}{(t^2 + 4)^2}}} \]

\[ P = \frac{2(t + 1)}{\sqrt{1 + \frac{8}{t^2 + 4} + \frac{16}{(t^2 + 4)^2}}} \]

b. Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) có giá trị nguyên:

Để \( P \) có giá trị nguyên, biểu thức dưới dấu căn phải là một số chính phương.

\[ 1 + \frac{8}{t^2 + 4} + \frac{16}{(t^2 + 4)^2} \]

Giả sử \( t \) là một số nguyên, ta có \( t = \sqrt{x - 4} \).

Do đó, \( x - 4 \) phải là một số chính phương.

Giả sử \( x - 4 = k^2 \), với \( k \) là số nguyên.

\[ x = k^2 + 4 \]

Thay vào biểu thức \( P \):

\[ P = \frac{2(k + 1)}{\sqrt{1 + \frac{8}{k^2 + 4} + \frac{16}{(k^2 + 4)^2}}} \]

Để \( P \) có giá trị nguyên, biểu thức dưới dấu căn phải là một số chính phương.

\[ 1 + \frac{8}{k^2 + 4} + \frac{16}{(k^2 + 4)^2} \]

Giả sử \( k = 2 \), ta có:

\[ x = 2^2 + 4 = 8 \]

Thay vào biểu thức \( P \):

\[ P = \frac{2(2 + 1)}{\sqrt{1 + \frac{8}{2^2 + 4} + \frac{16}{(2^2 + 4)^2}}} \]

\[ P = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{1 + \frac{8}{4 + 4} + \frac{16}{(4 + 4)^2}}} \]

\[ P = \frac{6}{\sqrt{1 + 1 + \frac{16}{64}}} \]

\[ P = \frac{6}{\sqrt{1 + 1 + \frac{1}{4}}} \]

\[ P = \frac{6}{\sqrt{2.25}} \]

\[ P = \frac{6}{1.5} \]

\[ P = 4 \]

Vậy \( x = 8 \) là giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) có giá trị nguyên.