Để rút gọn biểu thức A, ta thực hiện các bước sau:

**a. Rút gọn biểu thức A**

Biểu thức ban đầu:
\[ A = \frac{a+2}{a-2} \cdot \left( \frac{6a}{a^3-8} + \frac{2a}{a^2+2a+4} + \frac{1}{2-a} \right) - \frac{4a+4}{a-2} \]

1. Rút gọn các phân thức trong ngoặc:
- \( a^3 - 8 = (a-2)(a^2 + 2a + 4) \)
- \( \frac{6a}{a^3-8} = \frac{6a}{(a-2)(a^2+2a+4)} \)
- \( \frac{2a}{a^2+2a+4} \) giữ nguyên
- \( \frac{1}{2-a} = -\frac{1}{a-2} \)

2. Thay vào biểu thức:
\[ A = \frac{a+2}{a-2} \cdot \left( \frac{6a}{(a-2)(a^2+2a+4)} + \frac{2a}{a^2+2a+4} - \frac{1}{a-2} \right) - \frac{4a+4}{a-2} \]

3. Quy đồng mẫu số trong ngoặc:
\[ \frac{6a}{(a-2)(a^2+2a+4)} + \frac{2a}{a^2+2a+4} - \frac{1}{a-2} = \frac{6a + 2a(a-2) - (a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)} \]

4. Tính tử số:
\[ 6a + 2a(a-2) - (a^2+2a+4) = 6a + 2a^2 - 4a - a^2 - 2a - 4 = a^2 \]

5. Biểu thức trở thành:
\[ A = \frac{a+2}{a-2} \cdot \frac{a^2}{(a-2)(a^2+2a+4)} - \frac{4a+4}{a-2} \]

6. Rút gọn:
\[ A = \frac{a^2(a+2)}{(a-2)^2(a^2+2a+4)} - \frac{4(a+1)}{a-2} \]

7. Đưa về cùng mẫu số:
\[ A = \frac{a^2(a+2) - 4(a+1)(a^2+2a+4)}{(a-2)^2(a^2+2a+4)} \]

8. Tính tử số:
\[ a^2(a+2) - 4(a+1)(a^2+2a+4) = a^3 + 2a^2 - 4(a^3 + 2a^2 + 4a + a^2 + 2a + 4) = a^3 + 2a^2 - 4a^3 - 12a^2 - 16a - 16 \]

\[ = -3a^3 - 10a^2 - 16a - 16 \]

9. Biểu thức cuối cùng:
\[ A = \frac{-3a^3 - 10a^2 - 16a - 16}{(a-2)^2(a^2+2a+4)} \]

**b. Tính giá trị của biểu thức khi a = 2008**

Thay \( a = 2008 \) vào biểu thức đã rút gọn:
\[ A = \frac{-3(2008)^3 - 10(2008)^2 - 16(2008) - 16}{(2008-2)^2(2008^2+2(2008)+4)} \]

Tính toán cụ thể:
\[ (2008-2) = 2006 \]
\[ (2008)^2 = 4032064 \]
\[ (2008)^3 = 81033815072 \]
\[ (2008^2 + 2(2008) + 4) = 4032064 + 4016 + 4 = 4036084 \]

\[ A = \frac{-3(81033815072) - 10(4032064) - 16(2008) - 16}{2006^2 \cdot 4036084} \]

\[ = \frac{-243101445216 - 40320640 - 32128 - 16}{2006^2 \cdot 4036084} \]

\[ = \frac{-243141797000}{2006^2 \cdot 4036084} \]

\[ = \frac{-243141797000}{4024036 \cdot 4036084} \]

\[ = \frac{-243141797000}{16244808104} \]

\[ = -14.97 \]

Vậy giá trị của biểu thức khi \( a = 2008 \) là xấp xỉ -14.97.