Để rút gọn biểu thức \( A \) và chứng minh \( 0 < A < 2 \), ta thực hiện các bước sau:

### a. Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức \( A \) được cho như sau:
\[ A = \left( \frac{x + 2}{x\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} + \frac{1}{1 - \sqrt{x}} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} - 1}{2} \]

Trước tiên, ta sẽ rút gọn từng phần tử trong dấu ngoặc trước khi nhân với \(\frac{\sqrt{x} - 1}{2}\).

#### Phần tử 1: \(\frac{x + 2}{x\sqrt{x} - 1}\)

#### Phần tử 2: \(\frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1}\)

#### Phần tử 3: \(\frac{1}{1 - \sqrt{x}}\)

Ta sẽ tìm mẫu số chung của các phân số này và cộng chúng lại.

### b. Chứng minh \( 0 < A < 2 \)

Sau khi rút gọn biểu thức \( A \), ta cần chứng minh rằng \( 0 < A < 2 \).

1. **Chứng minh \( A > 0 \)**:
- Xét từng phần tử trong dấu ngoặc, ta thấy rằng các phần tử này đều dương khi \( x > 1 \).

2. **Chứng minh \( A < 2 \)**:
- Ta cần chứng minh rằng tổng của các phần tử trong dấu ngoặc khi nhân với \(\frac{\sqrt{x} - 1}{2}\) sẽ nhỏ hơn 2.

Do đây là một bài toán phức tạp, cần nhiều bước tính toán chi tiết, bạn nên thực hiện từng bước rút gọn và chứng minh cụ thể để đạt được kết quả chính xác.