Để giải quyết bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a. Rút gọn A và B

**Rút gọn A:**

Ta có:
\[ A = \frac{1}{2(1 + \sqrt{a + 2})} + \frac{1}{2(1 - \sqrt{a + 2})} \]

Đặt \( x = \sqrt{a + 2} \), ta có:
\[ A = \frac{1}{2(1 + x)} + \frac{1}{2(1 - x)} \]

Tìm mẫu số chung:
\[ A = \frac{1 - x + 1 + x}{2(1 + x)(1 - x)} = \frac{2}{2(1 - x^2)} = \frac{1}{1 - x^2} \]

Mà \( x^2 = a + 2 \), do đó:
\[ A = \frac{1}{1 - (a + 2)} = \frac{1}{-a - 1} = -\frac{1}{a + 1} \]

**Rút gọn B:**

Ta có:
\[ B = A + \frac{a^2 - 2a}{1 + a^3} \]

Thay giá trị của \( A \) vào:
\[ B = -\frac{1}{a + 1} + \frac{a^2 - 2a}{1 + a^3} \]

### b. Tìm giá trị nhỏ nhất của B

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( B \), ta cần xét hàm số:
\[ B = -\frac{1}{a + 1} + \frac{a^2 - 2a}{1 + a^3} \]

Xét đạo hàm của \( B \) để tìm cực trị:
\[ B' = \frac{d}{da} \left( -\frac{1}{a + 1} + \frac{a^2 - 2a}{1 + a^3} \right) \]

Tuy nhiên, việc tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0 có thể phức tạp. Thay vào đó, ta có thể sử dụng các phương pháp khác như xét giá trị tại các điểm đặc biệt hoặc sử dụng phần mềm tính toán để tìm giá trị nhỏ nhất.

### Kết luận

- Rút gọn \( A \):
\[ A = -\frac{1}{a + 1} \]

- Rút gọn \( B \):
\[ B = -\frac{1}{a + 1} + \frac{a^2 - 2a}{1 + a^3} \]

- Giá trị nhỏ nhất của \( B \) có thể được tìm bằng cách xét đạo hàm hoặc sử dụng phần mềm tính toán.