Để tìm \( n \) thuộc \( \mathbb{Z} \) sao cho thỏa mãn các điều kiện sau:

1. \( n - 11 \) chia hết \( n - 1 \)
2. \( 3n + 5 \) chia hết \( n + 1 \)
3. \( 3n + 2 \) chia hết \( 2n - 1 \)
4. \( n - 1 \) chia hết \( n + 5 \)

Chúng ta sẽ giải từng điều kiện một.

### Điều kiện 1: \( n - 11 \) chia hết \( n - 1 \)
Điều này có nghĩa là:
\[ n - 11 = k(n - 1) \]
Với \( k \) là một số nguyên. Ta có:
\[ n - 11 = kn - k \]
\[ n - kn = 11 - k \]
\[ n(1 - k) = 11 - k \]
\[ n = \frac{11 - k}{1 - k} \]

### Điều kiện 2: \( 3n + 5 \) chia hết \( n + 1 \)
Điều này có nghĩa là:
\[ 3n + 5 = m(n + 1) \]
Với \( m \) là một số nguyên. Ta có:
\[ 3n + 5 = mn + m \]
\[ 3n - mn = m - 5 \]
\[ n(3 - m) = m - 5 \]
\[ n = \frac{m - 5}{3 - m} \]

### Điều kiện 3: \( 3n + 2 \) chia hết \( 2n - 1 \)
Điều này có nghĩa là:
\[ 3n + 2 = p(2n - 1) \]
Với \( p \) là một số nguyên. Ta có:
\[ 3n + 2 = 2pn - p \]
\[ 3n - 2pn = -p - 2 \]
\[ n(3 - 2p) = -p - 2 \]
\[ n = \frac{-p - 2}{3 - 2p} \]

### Điều kiện 4: \( n - 1 \) chia hết \( n + 5 \)
Điều này có nghĩa là:
\[ n - 1 = q(n + 5) \]
Với \( q \) là một số nguyên. Ta có:
\[ n - 1 = qn + 5q \]
\[ n - qn = 5q + 1 \]
\[ n(1 - q) = 5q + 1 \]
\[ n = \frac{5q + 1}{1 - q} \]

Bây giờ, chúng ta cần tìm \( n \) thỏa mãn tất cả các điều kiện trên. Ta sẽ thử các giá trị nguyên của \( n \) để tìm ra giá trị phù hợp.

### Thử các giá trị \( n \)
Thử \( n = 2 \):
1. \( n - 11 = 2 - 11 = -9 \), \( n - 1 = 2 - 1 = 1 \), \(-9\) chia hết cho \(1\) (đúng).
2. \( 3n + 5 = 3(2) + 5 = 11 \), \( n + 1 = 2 + 1 = 3 \), \(11\) không chia hết cho \(3\) (sai).

Thử \( n = -1 \):
1. \( n - 11 = -1 - 11 = -12 \), \( n - 1 = -1 - 1 = -2 \), \(-12\) chia hết cho \(-2\) (đúng).
2. \( 3n + 5 = 3(-1) + 5 = 2 \), \( n + 1 = -1 + 1 = 0 \), \(2\) không chia hết cho \(0\) (sai).

Thử \( n = 6 \):
1. \( n - 11 = 6 - 11 = -5 \), \( n - 1 = 6 - 1 = 5 \), \(-5\) chia hết cho \(5\) (đúng).
2. \( 3n + 5 = 3(6) + 5 = 23 \), \( n + 1 = 6 + 1 = 7 \), \(23\) không chia hết cho \(7\) (sai).

Thử \( n = -6 \):
1. \( n - 11 = -6 - 11 = -17 \), \( n - 1 = -6 - 1 = -7 \), \(-17\) không chia hết cho \(-7\) (sai).

Thử \( n = -7 \):
1. \( n - 11 = -7 - 11 = -18 \), \( n - 1 = -7 - 1 = -8 \), \(-18\) không chia hết cho \(-8\) (sai).

Thử \( n = -5 \):
1. \( n - 11 = -5 - 11 = -16 \), \( n - 1 = -5 - 1 = -6 \), \(-16\) không chia hết cho \(-6\) (sai).

Thử \( n = -4 \):
1. \( n - 11 = -4 - 11 = -15 \), \( n - 1 = -4 - 1 = -5 \), \(-15\) chia hết cho \(-5\) (đúng).
2. \( 3n + 5 = 3(-4) + 5 = -7 \), \( n + 1 = -4 + 1 = -3 \), \(-7\) không chia hết cho \(-3\) (sai).

Thử \( n = -2 \):
1. \( n - 11 = -2 - 11 = -13 \), \( n - 1 = -2 - 1 = -3 \), \(-13\) không chia hết cho \(-3\) (sai).

Như vậy, không có giá trị \( n \) nào thỏa mãn tất cả các điều kiện đã cho.