Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các định lý liên quan đến đường phân giác và đường cao.

1. **Tính độ dài \(AD\) (đường phân giác):**

Đường phân giác trong tam giác vuông chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh góc vuông. Do đó, ta có:
\[ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} \]

Gọi \(AB = c\) và \(AC = b\). Ta có:
\[ \frac{75}{100} = \frac{c}{b} \]
\[ \frac{3}{4} = \frac{c}{b} \]
\[ c = \frac{3}{4}b \]

Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác vuông:
\[ AD = \sqrt{BD \cdot CD \left( 1 - \frac{AB \cdot AC}{(AB + AC)^2} \right)} \]

Tuy nhiên, cách tính này phức tạp và không cần thiết trong trường hợp này. Thay vào đó, ta có thể sử dụng định lý đường phân giác trong tam giác vuông:
\[ AD = \sqrt{BD \cdot CD} \]
\[ AD = \sqrt{75 \cdot 100} \]
\[ AD = \sqrt{7500} \]
\[ AD = 50\sqrt{3} \, \text{cm} \]

2. **Tính độ dài \(AH\) (đường cao):**

Áp dụng định lý đường cao trong tam giác vuông:
\[ AH = \sqrt{BD \cdot CD} \]
\[ AH = \sqrt{75 \cdot 100} \]
\[ AH = \sqrt{7500} \]
\[ AH = 50\sqrt{3} \, \text{cm} \]

3. **Tính độ dài \(BH\) và \(CH\):**

Sử dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \(ABH\) và \(ACH\):
\[ BH = \sqrt{AB^2 + AH^2} \]
\[ CH = \sqrt{AC^2 + AH^2} \]

Trước tiên, ta cần tính \(AB\) và \(AC\). Ta biết:
\[ AB = \frac{3}{4}AC \]

Vì \(BD + CD = BC\), ta có:
\[ BC = 75 + 100 = 175 \, \text{cm} \]

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \(ABC\):
\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]
\[ \left(\frac{3}{4}AC\right)^2 + AC^2 = 175^2 \]
\[ \frac{9}{16}AC^2 + AC^2 = 30625 \]
\[ \frac{25}{16}AC^2 = 30625 \]
\[ AC^2 = \frac{30625 \cdot 16}{25} \]
\[ AC^2 = 19600 \]
\[ AC = 140 \, \text{cm} \]

Do đó:
\[ AB = \frac{3}{4} \cdot 140 = 105 \, \text{cm} \]

Bây giờ, tính \(BH\) và \(CH\):
\[ BH = \sqrt{AB^2 + AH^2} \]
\[ BH = \sqrt{105^2 + (50\sqrt{3})^2} \]
\[ BH = \sqrt{11025 + 7500} \]
\[ BH = \sqrt{18525} \]
\[ BH = 135 \, \text{cm} \]

\[ CH = \sqrt{AC^2 + AH^2} \]
\[ CH = \sqrt{140^2 + (50\sqrt{3})^2} \]
\[ CH = \sqrt{19600 + 7500} \]
\[ CH = \sqrt{27100} \]
\[ CH = 165 \, \text{cm} \]

Tóm lại, các độ dài cần tìm là:
- \(BH = 135 \, \text{cm}\)
- \(CH = 165 \, \text{cm}\)
- \(AH = 50\sqrt{3} \, \text{cm}\)
- \(AD = 50\sqrt{3} \, \text{cm}\)