Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các tính chất hình học của tam giác và các điểm đặc biệt. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài toán:

### Phần a: Chứng minh NE = MF

1. **Xác định các điểm và tính chất:**
- \( O \) là điểm cách đều ba cạnh của tam giác \( ABC \), do đó \( O \) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \).
- \( D, E, F \) lần lượt là hình chiếu của \( O \) lên \( BC, CA, AB \).

2. **Tính chất của các đoạn thẳng:**
- \( BM = BA \) và \( CN = CA \).

3. **Chứng minh NE = MF:**
- Xét tam giác \( ABC \) với \( O \) là tâm đường tròn nội tiếp.
- \( D, E, F \) là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh \( BC, CA, AB \).
- Do \( O \) là tâm đường tròn nội tiếp, các đoạn \( OD, OE, OF \) đều bằng nhau và bằng bán kính \( r \) của đường tròn nội tiếp.
- \( NE \) và \( MF \) là các đoạn thẳng từ các điểm \( N \) và \( M \) đến các tiếp điểm \( E \) và \( F \) tương ứng.

4. **Sử dụng tính chất đối xứng:**
- Do \( BM = BA \) và \( CN = CA \), các điểm \( M \) và \( N \) đối xứng với các điểm \( A \) qua các cạnh \( BC \) và \( CA \) tương ứng.
- Điều này dẫn đến việc các đoạn \( NE \) và \( MF \) cũng đối xứng nhau qua các cạnh tương ứng.

5. **Kết luận:**
- Do tính chất đối xứng và các đoạn \( OE \) và \( OF \) đều bằng nhau, ta có \( NE = MF \).

### Phần b: Chứng minh tam giác MON cân

1. **Xác định các điểm và tính chất:**
- \( M \) và \( N \) được xác định như trên.
- \( O \) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \).

2. **Tính chất của các đoạn thẳng:**
- \( BM = BA \) và \( CN = CA \).

3. **Chứng minh tam giác MON cân:**
- Xét tam giác \( MON \) với các đoạn \( OM \) và \( ON \).
- Do \( O \) là tâm đường tròn nội tiếp, các đoạn \( OD, OE, OF \) đều bằng nhau và bằng bán kính \( r \) của đường tròn nội tiếp.
- Các đoạn \( OM \) và \( ON \) là các đoạn thẳng từ \( O \) đến các điểm \( M \) và \( N \) trên các cạnh kéo dài của tam giác \( ABC \).

4. **Sử dụng tính chất đối xứng:**
- Do \( BM = BA \) và \( CN = CA \), các điểm \( M \) và \( N \) đối xứng với các điểm \( A \) qua các cạnh \( BC \) và \( CA \) tương ứng.
- Điều này dẫn đến việc các đoạn \( OM \) và \( ON \) cũng đối xứng nhau qua các cạnh tương ứng.

5. **Kết luận:**
- Do tính chất đối xứng và các đoạn \( OM \) và \( ON \) đều bằng nhau, ta có tam giác \( MON \) cân tại \( O \).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán:
a) \( NE = MF \)
b) Tam giác \( MON \) cân.