Để tìm số nguyên \( n \) cho các bài toán trên, ta giải từng bài một:

a) \( 27^n : 3^n = 9 \)

Ta có thể viết lại phương trình như sau:
\[ \frac{27^n}{3^n} = 9 \]

Biến đổi vế trái:
\[ \frac{27^n}{3^n} = \left(\frac{27}{3}\right)^n = 9^n \]

Do đó, ta có:
\[ 9^n = 9 \]

Suy ra:
\[ n = 1 \]

b) \( 81 \cdot (-3)^n = -243 \)

Ta có thể viết lại phương trình như sau:
\[ 81 \cdot (-3)^n = -243 \]

Chia cả hai vế cho 81:
\[ (-3)^n = \frac{-243}{81} \]

Ta có:
\[ (-3)^n = -3 \]

Suy ra:
\[ n = 1 \]

c) \( \frac{1}{2} \cdot 2^n + 4 \cdot 2^n = 9 \cdot 2^5 \)

Ta có thể viết lại phương trình như sau:
\[ \frac{1}{2} \cdot 2^n + 4 \cdot 2^n = 9 \cdot 2^5 \]

Biến đổi vế trái:
\[ \frac{1}{2} \cdot 2^n + 4 \cdot 2^n = \left(\frac{1}{2} + 4\right) \cdot 2^n = \frac{1 + 8}{2} \cdot 2^n = \frac{9}{2} \cdot 2^n \]

Do đó, ta có:
\[ \frac{9}{2} \cdot 2^n = 9 \cdot 2^5 \]

Chia cả hai vế cho 9:
\[ \frac{1}{2} \cdot 2^n = 2^5 \]

Nhân cả hai vế với 2:
\[ 2^n = 2^6 \]

Suy ra:
\[ n = 6 \]

Vậy các giá trị của \( n \) là:
a) \( n = 1 \)
b) \( n = 1 \)
c) \( n = 6 \)