Để chứng minh rằng \( 9^{34} - 27^{22} + 81^{16} \) chia hết cho 657, ta cần kiểm tra xem biểu thức này có chia hết cho 657 hay không. Ta có thể sử dụng định lý nhỏ Fermat và tính toán modulo.

Trước hết, ta phân tích 657:
\[ 657 = 3^2 \times 73 \]

Ta sẽ kiểm tra biểu thức modulo 9 và modulo 73.

**1. Kiểm tra modulo 9:**

- \( 9^{34} \mod 9 \):
\[ 9 \equiv 0 \mod 9 \]
\[ 9^{34} \equiv 0^{34} \equiv 0 \mod 9 \]

- \( 27^{22} \mod 9 \):
\[ 27 = 3^3 \]
\[ 27 \equiv 0 \mod 9 \]
\[ 27^{22} \equiv 0^{22} \equiv 0 \mod 9 \]

- \( 81^{16} \mod 9 \):
\[ 81 = 9^2 \]
\[ 81 \equiv 0 \mod 9 \]
\[ 81^{16} \equiv 0^{16} \equiv 0 \mod 9 \]

Vậy:
\[ 9^{34} - 27^{22} + 81^{16} \equiv 0 - 0 + 0 \equiv 0 \mod 9 \]

**2. Kiểm tra modulo 73:**

- \( 9^{34} \mod 73 \):
Theo định lý Fermat nhỏ, với \( a \) là số nguyên và \( p \) là số nguyên tố:
\[ a^{p-1} \equiv 1 \mod p \]
\[ 9^{72} \equiv 1 \mod 73 \]
\[ 9^{34} = (9^{72})^{\frac{34}{72}} \equiv 1^{\frac{34}{72}} \equiv 1 \mod 73 \]

- \( 27^{22} \mod 73 \):
\[ 27^{72} \equiv 1 \mod 73 \]
\[ 27^{22} = (27^{72})^{\frac{22}{72}} \equiv 1^{\frac{22}{72}} \equiv 1 \mod 73 \]

- \( 81^{16} \mod 73 \):
\[ 81 \equiv 8 \mod 73 \]
\[ 81^{16} \equiv 8^{16} \mod 73 \]
Ta tính \( 8^{16} \mod 73 \):
\[ 8^2 = 64 \]
\[ 8^4 = 64^2 \mod 73 = 4096 \mod 73 = 4 \]
\[ 8^8 = 4^2 \mod 73 = 16 \]
\[ 8^{16} = 16^2 \mod 73 = 256 \mod 73 = 37 \]

Vậy:
\[ 9^{34} - 27^{22} + 81^{16} \equiv 1 - 1 + 37 \equiv 37 \mod 73 \]

Kết hợp lại:
\[ 9^{34} - 27^{22} + 81^{16} \equiv 0 \mod 9 \]
\[ 9^{34} - 27^{22} + 81^{16} \equiv 37 \mod 73 \]

Do đó, \( 9^{34} - 27^{22} + 81^{16} \) không chia hết cho 657 vì nó không thỏa mãn điều kiện chia hết cho 73.