Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{3x^2 + 2x + 3}{x^2 + 1} \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số này và giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( y \).

Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân số, ta có:
\[ y' = \frac{(3x^2 + 2x + 3)'(x^2 + 1) - (3x^2 + 2x + 3)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} \]

Tính các đạo hàm riêng lẻ:
\[ (3x^2 + 2x + 3)' = 6x + 2 \]
\[ (x^2 + 1)' = 2x \]

Thay vào công thức đạo hàm:
\[ y' = \frac{(6x + 2)(x^2 + 1) - (3x^2 + 2x + 3)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \]
\[ y' = \frac{(6x^3 + 6x + 2x^2 + 2) - (6x^3 + 4x^2 + 6x)}{(x^2 + 1)^2} \]
\[ y' = \frac{6x^3 + 2x^2 + 6x + 2 - 6x^3 - 4x^2 - 6x}{(x^2 + 1)^2} \]
\[ y' = \frac{2x^2 + 2}{(x^2 + 1)^2} \]
\[ y' = \frac{2(x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^2} \]
\[ y' = \frac{2}{x^2 + 1} \]

Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \).

\[ \frac{2}{x^2 + 1} = 0 \]

Phương trình này không có nghiệm vì mẫu số \( x^2 + 1 \) luôn dương và không bao giờ bằng 0.

Bước 3: Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \).

\[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x^2 + 2x + 3}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 3 \]

Bước 4: Xét giá trị của hàm số tại các điểm đặc biệt.

Tại \( x = 0 \):
\[ y(0) = \frac{3(0)^2 + 2(0) + 3}{(0)^2 + 1} = 3 \]

Do đó, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{3x^2 + 2x + 3}{x^2 + 1} \) đều là 3.