Để thực hiện phép tính và chứng minh các đẳng thức trong bài toán, ta sẽ phân tích từng phần:

### Phần a:
Đẳng thức cần chứng minh:
\[
(x^2 + y^2)(a^2 + b^2) = (ax + by)^2
\]
và từ đó suy ra:
\[
\frac{a}{x} = \frac{b}{y}
\]

**Chứng minh:**

1. Phát triển vế trái:
\[
(x^2 + y^2)(a^2 + b^2) = x^2a^2 + x^2b^2 + y^2a^2 + y^2b^2
\]

2. Phát triển vế phải:
\[
(ax + by)^2 = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2
\]

3. So sánh hai vế:
\[
x^2a^2 + x^2b^2 + y^2a^2 + y^2b^2 = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2
\]

4. Để hai vế bằng nhau, ta cần:
\[
x^2b^2 + y^2a^2 = 2abxy
\]

5. Chia cả hai vế cho \(x^2y^2\):
\[
\frac{b^2}{y^2} + \frac{a^2}{x^2} = \frac{2ab}{xy}
\]

6. Đặt \(\frac{a}{x} = k\) và \(\frac{b}{y} = k\):
\[
k^2 + k^2 = 2k^2
\]

Vậy ta có:
\[
\frac{a}{x} = \frac{b}{y}
\]

### Phần b:
Đẳng thức cần chứng minh:
\[
(x^2 + y^2 + z^2)(a^2 + b^2 + c^2) = (ax + by + cz)^2
\]
và từ đó suy ra:
\[
\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}
\]

**Chứng minh:**

1. Phát triển vế trái:
\[
(x^2 + y^2 + z^2)(a^2 + b^2 + c^2) = x^2a^2 + x^2b^2 + x^2c^2 + y^2a^2 + y^2b^2 + y^2c^2 + z^2a^2 + z^2b^2 + z^2c^2
\]

2. Phát triển vế phải:
\[
(ax + by + cz)^2 = a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2 + 2abxy + 2acxz + 2bcyz
\]

3. So sánh hai vế:
\[
x^2a^2 + x^2b^2 + x^2c^2 + y^2a^2 + y^2b^2 + y^2c^2 + z^2a^2 + z^2b^2 + z^2c^2 = a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2 + 2abxy + 2acxz + 2bcyz
\]

4. Để hai vế bằng nhau, ta cần:
\[
x^2b^2 + x^2c^2 + y^2a^2 + y^2c^2 + z^2a^2 + z^2b^2 = 2abxy + 2acxz + 2bcyz
\]

5. Chia cả hai vế cho \(x^2y^2z^2\):
\[
\frac{b^2}{y^2} + \frac{c^2}{z^2} + \frac{a^2}{x^2} + \frac{c^2}{z^2} + \frac{a^2}{x^2} + \frac{b^2}{y^2} = \frac{2ab}{xy} + \frac{2ac}{xz} + \frac{2bc}{yz}
\]

6. Đặt \(\frac{a}{x} = k\), \(\frac{b}{y} = k\) và \(\frac{c}{z} = k\):
\[
k^2 + k^2 + k^2 = 2k^2 + 2k^2 + 2k^2
\]

Vậy ta có:
\[
\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}
\]

Kết luận: Các đẳng thức đã được chứng minh.