Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của tam giác vuông, đường phân giác và các đường vuông góc.

### a) Chứng minh \( BF = BC \)

1. **Tam giác vuông tại A**:
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), do đó \( AB \perp AC \).

2. **Đường phân giác BD**:
- \( BD \) là đường phân giác của góc \( \angle ABC \), do đó \( \angle ABD = \angle DBC \).

3. **Đường vuông góc DE**:
- \( DE \perp BC \), do đó \( DE \) là đường cao từ \( D \) xuống \( BC \).

4. **Giao điểm F**:
- \( F \) là giao điểm của \( AB \) và \( DE \).

Để chứng minh \( BF = BC \), chúng ta cần xem xét các tam giác vuông và các tính chất của đường phân giác.

### b) Chứng minh \( AE = FC \)

1. **Tam giác vuông tại A**:
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), do đó \( AB \perp AC \).

2. **Đường phân giác BD**:
- \( BD \) là đường phân giác của góc \( \angle ABC \), do đó \( \angle ABD = \angle DBC \).

3. **Đường vuông góc DE**:
- \( DE \perp BC \), do đó \( DE \) là đường cao từ \( D \) xuống \( BC \).

4. **Giao điểm F**:
- \( F \) là giao điểm của \( AB \) và \( DE \).

Để chứng minh \( AE = FC \), chúng ta cần xem xét các tam giác vuông và các tính chất của đường phân giác.

### Phân tích chi tiết:

#### a) Chứng minh \( BF = BC \)

1. **Xét tam giác vuông ABD và tam giác vuông BDC**:
- \( \angle ABD = \angle DBC \) (do \( BD \) là đường phân giác).
- \( BD \) là cạnh chung.

2. **Sử dụng định lý đường phân giác trong tam giác vuông**:
- Trong tam giác vuông, đường phân giác của góc vuông chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn có diện tích bằng nhau.
- Do đó, \( \triangle ABD \cong \triangle DBC \).

3. **Kết luận**:
- Vì \( \triangle ABD \cong \triangle DBC \), nên \( BF = BC \).

#### b) Chứng minh \( AE = FC \)

1. **Xét tam giác vuông ADE và tam giác vuông CDE**:
- \( DE \perp BC \), do đó \( DE \) là đường cao từ \( D \) xuống \( BC \).
- \( DE \) là cạnh chung.

2. **Sử dụng tính chất của đường cao trong tam giác vuông**:
- Trong tam giác vuông, đường cao từ đỉnh góc vuông chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn có diện tích bằng nhau.
- Do đó, \( \triangle ADE \cong \triangle CDE \).

3. **Kết luận**:
- Vì \( \triangle ADE \cong \triangle CDE \), nên \( AE = FC \).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \( BF = BC \) và \( AE = FC \).