Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
3mx + y = -2m \\
-3x - my = -1 + 3m
\end{cases}
\]

Ta sẽ sử dụng phương pháp định thức để xác định các giá trị của tham số \( m \).

Đầu tiên, ta viết hệ phương trình dưới dạng ma trận:

\[
\begin{cases}
3mx + y = -2m \\
-3x - my = -1 + 3m
\end{cases}
\]

Ma trận hệ số là:

\[
A = \begin{pmatrix}
3m & 1 \\
-3 & -m
\end{pmatrix}
\]

Định thức của ma trận \( A \) là:

\[
\Delta = \begin{vmatrix}
3m & 1 \\
-3 & -m
\end{vmatrix} = 3m \cdot (-m) - 1 \cdot (-3) = -3m^2 + 3 = 3(1 - m^2)
\]

a) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(\Delta \neq 0\):

\[
3(1 - m^2) \neq 0 \implies 1 - m^2 \neq 0 \implies m^2 \neq 1 \implies m \neq \pm 1
\]

Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi \( m \neq \pm 1 \).

b) Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta = 0\) và hệ số tự do không đồng nhất:

\[
3(1 - m^2) = 0 \implies 1 - m^2 = 0 \implies m = \pm 1
\]

Xét \( m = 1 \):

\[
\begin{cases}
3x + y = -2 \\
-3x - y = 2
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình:

\[
0 = 0
\]

Vậy, hệ phương trình có vô số nghiệm khi \( m = 1 \).

Xét \( m = -1 \):

\[
\begin{cases}
-3x + y = 2 \\
-3x + y = 4
\end{cases}
\]

Hai phương trình này mâu thuẫn, nên hệ phương trình vô nghiệm khi \( m = -1 \).

c) Hệ phương trình có vô số nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta = 0\) và hệ số tự do đồng nhất:

\[
m = 1
\]

d) Để hệ phương trình nhận \((1, 2)\) làm nghiệm, ta thay \( x = 1 \) và \( y = 2 \) vào hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
3m \cdot 1 + 2 = -2m \\
-3 \cdot 1 - m \cdot 2 = -1 + 3m
\end{cases}
\]

Giải phương trình đầu tiên:

\[
3m + 2 = -2m \implies 5m = -2 \implies m = -\frac{2}{5}
\]

Giải phương trình thứ hai:

\[
-3 - 2m = -1 + 3m \implies -2 = 5m \implies m = -\frac{2}{5}
\]

Vậy, hệ phương trình nhận \((1, 2)\) làm nghiệm khi \( m = -\frac{2}{5} \).

Tóm lại:
a) Hệ có nghiệm duy nhất khi \( m \neq \pm 1 \).
b) Hệ vô nghiệm khi \( m = -1 \).
c) Hệ có vô số nghiệm khi \( m = 1 \).
d) Hệ nhận \((1, 2)\) làm nghiệm khi \( m = -\frac{2}{5} \).