Để tìm số nguyên \( m \) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) mà \( x, y \) là số nguyên, ta cần giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
x + my = m + 1 \quad (1) \\
mx + y = 3m - 1 \quad (2)
\end{cases}
\]

Trước tiên, ta nhân phương trình (1) với \( m \):

\[
m(x + my) = m(m + 1) \implies mx + m^2y = m^2 + m \quad (3)
\]

Trừ phương trình (2) từ phương trình (3):

\[
(mx + m^2y) - (mx + y) = (m^2 + m) - (3m - 1)
\]

\[
m^2y - y = m^2 + m - 3m + 1
\]

\[
(m^2 - 1)y = m^2 - 2m + 1
\]

\[
(m^2 - 1)y = (m - 1)^2
\]

Nếu \( m^2 - 1 \neq 0 \), ta có:

\[
y = \frac{(m - 1)^2}{m^2 - 1}
\]

\[
y = \frac{(m - 1)^2}{(m - 1)(m + 1)} = \frac{m - 1}{m + 1}
\]

Để \( y \) là số nguyên, \( \frac{m - 1}{m + 1} \) phải là số nguyên. Điều này chỉ xảy ra khi \( m - 1 = k(m + 1) \) với \( k \) là số nguyên.

Giải phương trình này:

\[
m - 1 = k(m + 1)
\]

\[
m - 1 = km + k
\]

\[
m - km = k + 1
\]

\[
m(1 - k) = k + 1
\]

\[
m = \frac{k + 1}{1 - k}
\]

Để \( m \) là số nguyên, \( \frac{k + 1}{1 - k} \) phải là số nguyên. Xét các giá trị của \( k \):

- Nếu \( k = 0 \), \( m = 1 \)
- Nếu \( k = -1 \), \( m = 0 \)

Ta kiểm tra các giá trị \( m = 1 \) và \( m = 0 \):

1. Với \( m = 1 \):

\[
\begin{cases}
x + y = 2 \\
x + y = 2
\end{cases}
\]

Hệ phương trình có vô số nghiệm.

2. Với \( m = 0 \):

\[
\begin{cases}
x = 1 \\
y = -1
\end{cases}
\]

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( (x, y) = (1, -1) \).

Vậy số nguyên \( m \) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) mà \( x, y \) là số nguyên là \( m = 0 \).