Để xác định giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm \((x, y) = (1, 2)\), ta thay \((x, y) = (1, 2)\) vào hệ phương trình và giải tìm \( m \).

Hệ phương trình đã cho là:
\[ \begin{cases}
2(m+1)x - 7 - 2y = 6 \\
(m+1)x + (m-2)y = 12
\end{cases} \]

Thay \((x, y) = (1, 2)\) vào hệ phương trình:

Phương trình thứ nhất:
\[ 2(m+1) \cdot 1 - 7 - 2 \cdot 2 = 6 \]
\[ 2(m+1) - 7 - 4 = 6 \]
\[ 2m + 2 - 11 = 6 \]
\[ 2m - 9 = 6 \]
\[ 2m = 15 \]
\[ m = \frac{15}{2} \]

Phương trình thứ hai:
\[ (m+1) \cdot 1 + (m-2) \cdot 2 = 12 \]
\[ m + 1 + 2m - 4 = 12 \]
\[ 3m - 3 = 12 \]
\[ 3m = 15 \]
\[ m = 5 \]

Như vậy, có sự mâu thuẫn trong việc tìm giá trị của \( m \). Do đó, không tồn tại giá trị \( m \) để hệ phương trình có nghiệm \((x, y) = (1, 2)\).