Để chứng minh các tính chất của tam giác ABC cân tại A và các điểm K, H, O như đã cho, chúng ta sẽ tiến hành theo các bước sau:

### 1. Chứng minh tam giác OCB cân

**Giả thiết:**
- Tam giác ABC cân tại A (AB = AC).
- Điểm K trên AB và điểm H trên AC sao cho AK = AH.
- O là giao điểm của BH và CK.

**Chứng minh:**
- Vì tam giác ABC cân tại A, nên góc \( \angle BAC \) được chia đều bởi đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác từ A. Do đó, \( \angle ABH = \angle ACH \).
- Vì AK = AH, nên tam giác AKH cân tại A, do đó \( \angle AKH = \angle AHK \).

Xét tam giác BHC và tam giác CKH:
- \( \angle BHC = \angle CKH \) (do AK = AH và tam giác ABC cân tại A).
- \( \angle HBK = \angle HCK \) (do BH và CK là các đường trung tuyến của tam giác cân tại A).

Do đó, tam giác BHC và tam giác CKH đồng dạng với nhau.

Vì O là giao điểm của BH và CK, nên O là trung điểm của đoạn thẳng BC trong tam giác đồng dạng này. Do đó, tam giác OCB cân tại O.

### 2. Chứng minh KH // BC

**Giả thiết:**
- Tam giác ABC cân tại A (AB = AC).
- Điểm K trên AB và điểm H trên AC sao cho AK = AH.
- O là giao điểm của BH và CK.

**Chứng minh:**
- Xét tam giác AKH cân tại A với AK = AH.
- Vì tam giác ABC cân tại A, nên \( \angle BAC \) được chia đều bởi đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác từ A.

Xét tam giác AKH và tam giác ABC:
- \( \angle KAH = \angle BAC \) (do AK = AH và tam giác ABC cân tại A).
- \( \angle AKH = \angle AHK \) (do tam giác AKH cân tại A).

Do đó, tam giác AKH đồng dạng với tam giác ABC.

Vì AK = AH và tam giác ABC cân tại A, nên đường thẳng KH song song với đường thẳng BC (theo định lý đường trung bình trong tam giác).

Vậy, KH // BC.

### Kết luận:
- Tam giác OCB cân tại O.
- KH // BC.